Przekształcenie liniowe wielomianów

[dusiek]

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ g: \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}}\) gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{X}}\) jest przestrzenią wielomianów stopnia co najwyżej drugiego określone jest wzorem: \(\displaystyle{ (g(p))(t) = 2p(t)-tp'(t), t \in R}\). Wyznacz macierz przekształcenia \(\displaystyle{ g}\) w bazie \(\displaystyle{ B = [(1-t)^{2}, 2t(1-t), t^{2}] .}\) Znajdz bazy
obrazu i jadra przekształcenia \(\displaystyle{ g}\).

Wiem, że mam zrobić to według wzoru: \(\displaystyle{ F = B^{-1} \cdot g \cdot B}\). Ale do końca nie wiem czy mogę reprezentowac \(\displaystyle{ B}\) jako macierz: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&2&0\\1&-2&1\end{array}\right]}\) gdzie w i-tej kolumnie są wspólczynniki i-tego wielomianu w bazie \(\displaystyle{ B}\) i potem ją odwrócić i wszystko wymnożyć. Nie czuje się mocny w przekształceniach liniowych, więc nie wiem czy taka reprezentacja wielomianu jest dobra

[norwimaj]

Chyba najprościej jest policzyć obrazy wektorów bazowych i zapisać je w bazie.

\(\displaystyle{ g((1-t)^2)(t)=2\cdot(1-t)^2-t\cdot ((1-t)^2)'=2\cdot(1-t)^2+2\cdot t(1-t)}\),

więc pierwsza kolumna macierzy przekształcenia to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2\\2\\0\end{bmatrix}}\).

[dusiek]

Faktycznie, dzieki za podpowiedź