Przestrzenie liniowe Pytanie do zadań.

[darthachill]

Witam.
Zaczyna dopiero dział z Przestrzeniami Liniowymi, i chciałbym prosić was o pomoc z zadaniami.
Niech \(\displaystyle{ \vec{a}=( 1, -1, -2, 3) \vec{b}=( 5, 4, 2, 0)}\)będą wekorami w przestrzeni linowej \(\displaystyle{ R^4}\) wyznacz wektor \(\displaystyle{ \vec{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{y}}\)
\(\displaystyle{ a) \vec{a} - \vec{x}=\vec{b}+2\vec{x}}\)
Zrobiłem to tak że wyznaczyłem
\(\displaystyle{ 3x= \vec{a}-\vec{b}}\)
Odjąłem odpowiednie współrzędne od siebie i podzieliłem je przez 3 aby otrzymać x,tak należy zrobić to zadanie?

d) Sprawdz czy Podane zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich \(\displaystyle{ R^n}\)

\(\displaystyle{ D={(x1,x2,x3,x4,x5)\in R^4: x1=0, x2=x3, x5=0}} ,R^5}\)To zadanie nawet nie mam pojęcia jak zacząć ...
Proszę o pomoc.

[TPB]

Co do pierwszego to rozwiązuje się je dokładnie tak jak napisałeś.

W drugim robi się te zadanie w ten sposób:
Niech \(\displaystyle{ x,y \in D}\) i \(\displaystyle{ a \in F}\) (gdzie F to ciało nad jakim zadana jest przestrzeń liniowa) będą dowolnie ustalone. Musisz sprawdzić dwa warunki (można je też zastąpić jednym, nie wiem jak wy to robicie, ale ja rozbiję to na dwa etapy).
Oto te warunki:
\(\displaystyle{ x,y \in D \Rightarrow (x+y) \in D}\)
\(\displaystyle{ ( x \in D \wedge a \in F) \Rightarrow ax \in D}\).

Zrobię drugi (pierwszy robi się podobnie).
\(\displaystyle{ x \in D \Rightarrow x=(0,s,s,t,0)}\) (Ponieważ do zbioru D należą tylko wektory takiej postaci, czyli na pierwszym i ostatnim miejscu jest 0, a na drugim i trzecim jakaś liczba rzeczywista 's', zaś na czwartym dowolna liczba rzeczywista oznaczmy ją przez 't'). Mamy pokazać, że wektor: \(\displaystyle{ ax \in D}\), ale:
\(\displaystyle{ ax = (0,as,as,at,0)}\). Czyli też jest takiej samej postaci jak powyżej. Zatem należy do podanej podprzestrzeni.

Analogicznie pokażesz pierwszy warunek. Kiedy dana struktura spełnia te warunki to jest podprzestrzenią. Mam nadzieję, że dość jasno wyjaśniłem ten przykład.

Pozdrawiam.

[darthachill]

Robiłem trochę tych zadań na e-portalu(jestem studentem pwr), I jestem przyzwyczajony że zazwyczaj muszę oblicyć jakieś dane współczynniki. Przeważnie spotkałem się z zadaniami że mam układ, Eliminacją Gaussa doprowadzam ten układ do końca. Otrzymuje dane współczynniki "a", bądź współrzędne. Tutaj pewnie będzie też jakiś układ równań. Zrozumiałem w pewnym sensie co chciałeś mi przekazać, ale nadal nie wiem jak zrobić 1 przypadek. Wykład dopiero będę o tym mieć, a ciężko mi się wczytać w teorię, nie wiem jak wziąć się za ten 1 warunek .

[TPB]

Załóżmy, że wektory \(\displaystyle{ x,y \in D}\). Ponadto możemy przyjąć, że:
\(\displaystyle{ x = (0,x_{2},x_{2},x_{4},0)}\) oraz \(\displaystyle{ y = (0,y_{2},y_{2},y_{4},0)}\), dla pewnych \(\displaystyle{ x_{2},x_{4},y_{2},y_{4} \in R}\). Mamy pokazać, że suma tych wektorów też należy do \(\displaystyle{ D}\). Policzmy więc ich sumę, otrzymamy:
\(\displaystyle{ x+y = (0+0,x_2+y_2,x_2+y_{2},x_{4}+y_{4},0+0)=(0,x_2+y_2,x_2+y_{2},x_{4}+y_{4},0)}\).
Ten wektor po prawej stronie równości należy do \(\displaystyle{ D}\), bo jest takiej postaci jak napisałem w poprzednim poście.