Czy zbiór izometrii trójkąta jest grupą abelową?

[diego_maradona]

Zbiór rozpatrywanych izometrii składa się z elementów: \(\displaystyle{ O _{0} O _{1} O _{2}}\) wynoszących odpowiednio
\(\displaystyle{ 0, \frac{2}{3} \pi , \frac{4}{3} \pi}\) Oraz \(\displaystyle{ S _{a} S _{b} S _{c}}\) będących odpowiednio symetriami względem symetralnych poszczególnych boków.

Zdaniem autora podręcznika( Lucjan Kowalski, Elementy Algebry Liniowy z Geometrią Analityczną dla informatyków ) nie jest to grupa Abelowa. Podano dowód przez kontrprzykład: \(\displaystyle{ O _{1} S_{a} \neq S_{a} O _{1}}\) . Hmm... narysowałem to sobie i moim zdaniem lewa strona równa się prawej, zresztą to na zdrowy chłopski rozum jest oczywiste, obrót o 120 stopni i odbicie symetryczne względem boku a w 100% pokrywa się z odbiciem względem boku a i obrotem o 120 stopni... kolejność nie ma znaczenia. Albo to mi się mózg przepalił od nocnej nauki przed sesją .

[tometomek91]

W książce jest dobrze. Narysuj sobie jeszcze raz.

[diego_maradona]

Na początku był czarny trójkąt.
Czerwony jest wynikiem symetrii względem boku a, zaś zielony powstaje po obróceniu o 120 stopni. Jednak po obu działaniach powstaje żółty, bez względu na ich kolejność.

PS. Chodzi o trójkąt RÓWNOBOCZNY, sorry zabrakło miejsca w tytule tematu, a to chyba kluczowa informacja

[tometomek91]

Inaczej rozumiesz symetrię i obrót niż się powinno
Symetria względem wierzchołka A: prowadzisz prostą przez A prostopadłą do BC i odbijasz trójkąt symetrycznie względem tej prostej (analogicznie względem B i C).
Obrót o ileś stopni: obracamy trójkąt wzgledem jego ortocentrum o zadany kąt i tutaj albo w lewo albo w prawo, zalezy jaką konwencję przyjąć.

[diego_maradona]

Obrót o ileś stopni: obracamy trójkąt wzgledem jego ortocentrum o zadany kąt i tutaj albo w lewo albo w prawo, zalezy jaką konwencję przyjąć.

Kąt jest dodatni czyli obrót w prawo chyba odpada

PS. Nie wiem czy dobrze zrozumiałem Twoją koncepcję.Mamy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Przyjmując że |AB|=a , \(\displaystyle{ |BC|=b, |AC|=c}\) po działaniu \(\displaystyle{ O _{1} S _{a}}\) otrzymujemy trójkąt \(\displaystyle{ ACB}\) , zaś po \(\displaystyle{ S _{a} O_{1}}\) trójkąt \(\displaystyle{ CBA}\) ?