Przekszt. Householdera - wyzerować składową wektora

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ajc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 sty 2012, o 15:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pn

Przekszt. Householdera - wyzerować składową wektora

Post autor: ajc »

Mam takie zadanie:

Za pomocą przekształcenia Householdera wyzerować ostatnią składową wektora: \(\displaystyle{ \left[ 5, 3, 1, 1, 4\right]}\).

I teraz w teorii do zadania mam takie zdanie: Można tak zastosować p.Householdera, aby \(\displaystyle{ k-1}\) pierwszych współrzędnych kolumnowego wektora \(\displaystyle{ a}\) nie uległo zmianie, natomiast pozostałe współrzędne, czyli "podwektor" \(\displaystyle{ a^{(k)}=\left[ a_{k}, a_{k+1}, ..., a_{n} \right]}\) został przeprowadzony na kierunek wersora \(\displaystyle{ e_{1} \in R^{n-k+1}}\). W takim przypadku zapiszemy p.Householdera w postaci: \(\displaystyle{ P^{(k)}=\begin{bmatrix} I_{k-1}& \Theta_{(k-1) \times (n-k+1)} \\ \Theta_{(n-k+1) \times (k-1)}&\tilde P^{(k)}_{(n-k+1) \times (n-k+1)} \end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ \tilde P^{(k)}_{(n-k+1) \times (n-k+1)} = I_{n-k+1} - \frac{1}{K}\tilde u^{( k)}(\tilde u^{(k)})^{*}}\), a \(\displaystyle{ \tilde u^{(k)} = \left[ u_{k}, u_{k+1}, ..., u_{n} \right]}\). W przypadku przekształcenia wektora rzeczywistego mamy: \(\displaystyle{ K = \left| \left| a^{(k)}\right| \right|^{2}_{2} + \left| a_{k}\right| \left| \left| a^{(k)}\right| \right|_{2}}\) oraz \(\displaystyle{ u_{k} = \begin{cases} a_{k} +\left| \left| a^{(k)}\right| \right|_{2} ; a_{k}>0 \\ a_{k} -\left| \left| a^{(k)}\right| \right|_{2} ; a_{k}<0 \end{cases}}\), natomiast \(\displaystyle{ u_{i} = a_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=k+1,...,n}\).

I teraz tak: skoro chcę wyzerować piątą składową, to tworzę ten wektor \(\displaystyle{ a^{(k)}}\), który tu wygląda tak: \(\displaystyle{ a^{(5)}=[4]}\). Mam \(\displaystyle{ n=5}\) i \(\displaystyle{ k=5}\). Chcę wyliczyć \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ \left| \left| a^{(k)}\right| \right|_{2} = 4}\) podstawiam do wzoru: \(\displaystyle{ K= 16 + 4*4 = 32}\). Pytanie - czy do tego miejsca jest dobrze? Bo wydaje mi się, że coś tu kręcę...
ODPOWIEDZ