Witam,
Czy wie ktoś jak wyznaczyć zbiór dopełnień ortogonalnych tej podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ W = \left\{ x\in R^{4}: a+2b-d = 0, a+b+c = 0\right\}}\)
Próbowałem skorzystać z rzutu ortogonalnego wektora \(\displaystyle{ [a,b,c,d]}\) na W, a następnie skorzystać z zależności \(\displaystyle{ v = v_{1} + v_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ v_{1}}\) to rzut ortogonalny \(\displaystyle{ v}\) na W, a \(\displaystyle{ v_{2}}\) to wektor należący do dopełnienia ortogonalnego. Niestety wychodziły mi jakieś głupoty.
Skorzystanie z definicji zbioru dopełnień też nie pomogło. Otrzymałem coś takiego:
\(\displaystyle{ ax_{1} + bx_{2} + c(-x_{1}-x_{2}) + d(x_{1}+2x_{2}) = 0}\),
gdzie a,b,c,d to nasze niewiadome ze zbioru dopełnień ortogonalnych, a x to znane elementy z podprzestrzeni W. Z tego równania wynika, że zbiór ma tylko jeden element - wektor \(\displaystyle{ [0,0,0,0]^{T}}\), a to chyba nie jest prawdą...
Zbiór dopełnień ortogonalnych
-
robin3d
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 8 paź 2008, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ząbkowice Śląskie
Zbiór dopełnień ortogonalnych
No tak, to wynika z def. zbioru dopełnień. To prowadzi do wspomnianego już wcześniej równania...Tomek_Z pisze:Wystarczy wziąć dowolny wektor\(\displaystyle{ u=(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4}\) i zauważyć, że \(\displaystyle{ u \circ e_i = 0, i=1,2,3}\) .
Zbiór dopełnień ortogonalnych
Znajdujemy przestrzeń \(\displaystyle{ W}\). Z równań wychodzi, że jest ona rozpięta na wektorach: \(\displaystyle{ w_{1}=(1,0,-1,1)}\) i \(\displaystyle{ w_{2}= (0,1,-1,2)}\).
Dalej znajdujemy wektor \(\displaystyle{ v = (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) taki że: \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{1}\right\rangle = 0}\) i \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{2}\right\rangle = 0}\).
Widzimy, że tak uzyskany wektor \(\displaystyle{ v}\) będzie prostopadły do każdej kombinacji liniowej \(\displaystyle{ w_{1}}\) i \(\displaystyle{ w_{2}}\), bo:
\(\displaystyle{ \left\langle v, \alpha w_{1}+ \beta w_{2}\right\rangle = \alpha \left\langle v,w_{1}\right\rangle + \beta \left\langle v,w_{2}\right\rangle = \alpha * 0 + \beta *0 = 0}\)
Z \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{1}\right\rangle = 0}\) mamy: \(\displaystyle{ v_{1} - v_{3}+v_{4}=0}\).
Z \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{2}\right\rangle = 0}\) mamy: \(\displaystyle{ v_{2} - v_{3}+2v_{4}=0}\).
Z układu równań otrzymamy, że: \(\displaystyle{ v_{1} = v_{3}-v_{4}}\) i \(\displaystyle{ v_{2} = v_{3}-2v_{4}}\).
Wektor \(\displaystyle{ v}\) ma więc postać:
\(\displaystyle{ (v_{3}-v_{4}, v_{3}-2v_{4}, v_{3}, v_{4} )}\)
Dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ W}\) jest więc przestrzenią rozpętą na wektorach \(\displaystyle{ (1,1,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-2,0,1)}\).
Dalej znajdujemy wektor \(\displaystyle{ v = (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})}\) taki że: \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{1}\right\rangle = 0}\) i \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{2}\right\rangle = 0}\).
Widzimy, że tak uzyskany wektor \(\displaystyle{ v}\) będzie prostopadły do każdej kombinacji liniowej \(\displaystyle{ w_{1}}\) i \(\displaystyle{ w_{2}}\), bo:
\(\displaystyle{ \left\langle v, \alpha w_{1}+ \beta w_{2}\right\rangle = \alpha \left\langle v,w_{1}\right\rangle + \beta \left\langle v,w_{2}\right\rangle = \alpha * 0 + \beta *0 = 0}\)
Z \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{1}\right\rangle = 0}\) mamy: \(\displaystyle{ v_{1} - v_{3}+v_{4}=0}\).
Z \(\displaystyle{ \left\langle v,w_{2}\right\rangle = 0}\) mamy: \(\displaystyle{ v_{2} - v_{3}+2v_{4}=0}\).
Z układu równań otrzymamy, że: \(\displaystyle{ v_{1} = v_{3}-v_{4}}\) i \(\displaystyle{ v_{2} = v_{3}-2v_{4}}\).
Wektor \(\displaystyle{ v}\) ma więc postać:
\(\displaystyle{ (v_{3}-v_{4}, v_{3}-2v_{4}, v_{3}, v_{4} )}\)
Dopełnienie ortogonalne \(\displaystyle{ W}\) jest więc przestrzenią rozpętą na wektorach \(\displaystyle{ (1,1,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (-1,-2,0,1)}\).
Ostatnio zmieniony 8 sty 2012, o 22:10 przez asiaq, łącznie zmieniany 2 razy.
Zbiór dopełnień ortogonalnych
Poprawione. Mam nadzieję, że już jest dobrzeTomek_Z pisze:\(\displaystyle{ (1,0,-1,1) \circ (1,-2,0,1) \ne 0}\), więc masz błąd (najprawdopodobniej w rozwiazaniu układu równań).