Wektory własne macierzy a baza podprzestrzenii

[robin3d]

Witam forumowiczów,

Czy wie ktoś może z jakich własności wartości własnych macierzy i jej wektorów własnych wynika istnienie bazy wyznaczonej przez wektory własne tej macierzy?

Zdaje mi się, że chodzi o rank macierzy, ale nie dam głowy.

PS.
Macierz, o którą się rozchodzi ma wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ w(t) = (1-t)(2-t) ^{2}}\)

Posiada dwa wektory własne: \(\displaystyle{ [0,0,0]}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\) i \(\displaystyle{ [a, -0.25a, -0.5a]}\) dla \(\displaystyle{ t = 1}\)

[SidCom]

Istnienie bazy rozpiętej na wektorach własnych wynika z tego, że wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne

[robin3d]

Dzięki

[Ein]

No i prosty wniosek z tego, że żeby wektory własne wyznaczały bazę, macierz musi mieć tyle różnych wartości własnych, ile wynosi wymiar przestrzeni.

[robin3d]

No i prosty wniosek z tego, że żeby wektory własne wyznaczały bazę, macierz musi mieć tyle różnych wartości własnych, ile wynosi wymiar przestrzeni.

Nie musi. Zdarzają się macierze, których wielomian charakterystyczny ma pierwiastek podwójny, a wektory własne tworzą bazę.

Przykład: