Takie zadanko i nie wiem czy dobrze myślę
Mamy układ równań z 2 parametrami a,b.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y+z=b \\ 5x-8y+9z=3 \\ 2x+y+az=-1 \end{cases}}\)
Dla jakich parametrów układ:
(a) Nie ma rozwiązan:
Poprzez eliminację Gaussa:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&a |-1\\3&-2&1 |b\\5&-8&9 |3\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2&1&a |-1\\0&-3.5&1- \frac{3}{2}a |b+ \frac{3}{2} \\0&-10.5&9- \frac{5}{2}a |5.5\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}2&1&a |-1\\0&-7&2-3a |2b+3 \\0&0&12+4a |2-6b\end{array}\right]}\)
Układ nie ma rozwiązan, gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} 12+4a=0 \\ 2-6b \neq 0 \end{cases}}\)
czyli, gdy
\(\displaystyle{ a=-3 \wedge b \neq \frac{1}{3}}\)
(b) Ma jednoznaczne rozwiązanie:
Układ jest oznaczony, gdy
\(\displaystyle{ 12+4a \neq 0 \Rightarrow a \neq -3}\)
(lub gdy \(\displaystyle{ rank[A]=rank[A|b]=n=3}\) i na to samo wychodzi.
aaa...no i gdy \(\displaystyle{ b \neq \frac{1}{3}}\), bo wtedy macierz rozszerzona miałaby rząd 2 (jak wynika z podpunktu c ><)
(c) Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań:
gdy \(\displaystyle{ rank[A]=rank[A|b]<n=3}\)
czyli gdy \(\displaystyle{ a=-3}\) (wyznacznik z przekształcenia macierzy do postaci trójkątmnej z eliminacji wtedy będzie równy 0 dla 3x3, czyli \(\displaystyle{ rank[A]=2<3}\)
...i mam sprawdzić KAŻDĄ macierz kolejno z kolumną b czy jej wyznacznik jest =0 dla macierzy 3x3 ?
...czy wystarczy warunek z eliminacji Gaussa, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 12+4a=0 \\ 2-6b = 0 \end{cases}}\)
czyli, gdy
\(\displaystyle{ a=-3 \wedge b = \frac{1}{3}}\) ?
Mi to pasuje i gra, ale czy pani doktor będzie pasować i grać ?
I czy w zadaniu typu:
"Czy podprzestrzenie liniowe rozpięte na wierszach macierzy A i B są takie same?"
styknie mi sprawdzić ile jest wektorów niezależnych, czy zgadza się wymiar, a potem rozwiązać układ równań np.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&5\\2&0&6\\1&2&7\end{array}\right] \\
B=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&4\\4&-8&6\\0&-4&5\end{array}\right]}\)
ich wyznaczniki są w obydwu przypadkach = 0 (choć po zastanowieniu się to nie ma znaczenia, bo nie szukamy bazy).
więc czy zostaje do rozwiązania tylko układ gdzie liniowa kombinacja z 1 srony ma się równać drugiej i jak nam wyjdzie, że układ nie jest sprzeczny to się cieszymy?