Wzór przekształcenia liniowego

[Ktos_88]

Podać wzór analityczny przekształcenia \(\displaystyle{ \psi: R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\), o którym wiadomo, że: \(\displaystyle{ ker\Psi=lin(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix})}\) oraz \(\displaystyle{ Im\Psi=lin(\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix})}\) nie wiem jak się do tego zabrać. Proszę o pomoc. Próbowałem tak: znalazłem układ jednorodny którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ lin(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\)],\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix})}\) i wyszło mi że jest to \(\displaystyle{ x_1-x_2=0}\)

[Tomek_Z]

Nie wiem czy jest to dobry wynik. Pomysł na to zadanie jest taki, żeby bazę jądra dopełnić do bazy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) (np. dodając wektor \(\displaystyle{ (0,1,0)}\). Wtedy dowolny wektor\(\displaystyle{ u=(x,y,z)}\) możemy zapisać jako \(\displaystyle{ u=ze_1+(x-z)e_2+(y-x)e_3}\) gdzie \(\displaystyle{ e_i}\) to nasze wektory bazowe jądra. Wtedy \(\displaystyle{ \Psi(u) = (y-x)\Psi(e_3)}\). Mamy jeden wektor generujący obraz, zatem musi być \(\displaystyle{ \Psi(e_3) = (1,1,1)}\). Zatem ostatecznie \(\displaystyle{ \Psi(u) = (y-x)(1,1,1)}\).

[Ktos_88]

czyli odpowiedź to \(\displaystyle{ \Psi=(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix})}\),[=\(\displaystyle{ Psi=(egin{bmatrix}y-x\y-x\y-xend{bmatrix})}\)?

[Tomek_Z]

Wygląda na to, że tak, ale po sprawdzeniu (tzn. znalezieniu jądra i obrazu tego przekształcenia) wychodzą inne zbiory niż w treści zadania. Jestem ciekaw gdzie jest błąd. Samo rozumowanie wygląda na poprawne, więc możliwe, że mam gdzieś błędy w obliczeniach.