czy funkcja jest iloczynem skalarnym

[konrad18m]

Sprawdzic, ze podana funkcja (.,.) jest iloczynem skalarnym w rozwazanej przestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ (\vec{x}, \vec{y})=2x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2} \ dla \ \vec{x}(x_{1}, x_{2}), \vec{y}(y_{1}, y_{2}) \in R^{2}}\)


czy to jest dobrze?

\(\displaystyle{ ((x_1,x_2),(x_1,x_2)) = 2x_1^2 - x_1x_2 - x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + (x_1 - x_2)^2}\)

czyli \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\)

i to juz koniec zadania tak?

[szw1710]

Iloczyn skalarny na przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych to dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Sprawdź dwuliniowość i dodatnią określoność, bo symetria jest trywialna.

[konrad18m]

a jak to zrobic...?

[szw1710]

Sprawdzić czy spełnione są aksjomaty iloczynu skalarnego. Znajdziesz je w notatkach z wykładu bądź w dowolnym podręczniku analizy funkcjonalnej, a także algebry liniowej.