rzut ortogonalny wektora

[kkk]

Witam! Mam problem z tego typu zadaniami. Prosiłbym, żeby ktoś mi wytłumaczył, jak je rozwiązywać krok po kroku, bo nigdzie nie mogę znaleźć tego.

A zadanie wygląda tak:

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) (z naturalnym iloczynem skalarnym) znajdź rzut ortogonalny wektora (1, 2, 4) na płaszczyznę \(\displaystyle{ l: x + y - z = 0}\)

Z góry dzięki za pomoc

[Tomek_Z]

Najpierw znajdź bazę ortogonalną, która generuje płaszczyznę.

[kkk]

i właśnie z tym mam największy problem
\(\displaystyle{ x + y - z = 0 \\
z = x + y}\)

\(\displaystyle{ (x, y, z) = (x, y, x+y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1)\\
e_{1} = (1, 0, 1) \\
e_{2} = (0, 1, 1)}\)

Dobre bazy mam? I teraz je mam zrobić z tw. Grama - Schmidta, tzn na ortonormalną zamienić?

[Tomek_Z]

Baza jest ok. Teraz ortogonalizujesz z tw. Gramma-Schmidta (na razie nie musisz dbać o ortonormalność).

[kkk]

Ok, więc zrobiłem i wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ e_{1} ' = ( \frac{1}{ \sqrt{2} }, 0, \frac{1}{ \sqrt{2} } ) \\
e_{2} ' = (0, \frac{1}{ \sqrt{5} }, \frac{2}{ \sqrt{5} } \\}\)

Czyli z Grama - Schmidta jest to baza ortonormalna, tak?

I teraz muszę ze wzoru na sam rzut ortogonalny, w którym wykorzystam wyznaczone bazy?

[Tomek_Z]

Coś jest nie tak. Zawsze szybko sobie mozna sprawdzić, że powinno być \(\displaystyle{ e_1 \circ e_2 =0}\), a u Ciebie tak nie ma... No i tak jak pisałem, nie przejmuj się na razie ortonormalnością wektorów.

[kkk]

To może tak, korzystałem ze wzoru:

\(\displaystyle{ e_{1} ' = \frac{e_{1}}{||v_{1}||}\\

e_{2} ' = \frac{e_{2} - (e_{2} \circ e_{1} ' )e_{1} '}{||e_{2} - (e_{2} \circ e_{1} ' )e_{1} '||}}\)

Dobrze rozumiem, że między nawiasem a e1' :
\(\displaystyle{ (e_{2} \circ e_{1} ' )e_{1} '}\)
jest iloczyn wektorowy?

[Tomek_Z]

Dobrze rozumiem, że między nawiasem a e1' :
\(\displaystyle{ (e_{2} \circ e_{1} ' )e_{1} '}\)
jest iloczyn wektorowy?

To jest po prostu skalar razy wektor...

Co do wzoru, to nie rozumiem po co na siłę ortonormalizujesz...

Powinno być
\(\displaystyle{ e_1^{'} = e_1 = (1,0,1)}\)
\(\displaystyle{ e_2{'} = e_2 - \frac{e_2 \circ e_1'}{e_1' \circ e_1' } e_1'}\)

[kkk]

A faktycznie - strzeliłem straszną głupotę z tym wektorowym...
Na siłę ortonormalizuję bo takie coś było na wykładzie (wzór) i myślałem, żeby z niego skorzystać. Druga sprawa - widziałem przykład, że mając bazę ortonormalną liczymy rzut.

Więc tak, zrobię tak jak mi podałeś, i teraz nową bazę wykorzystuje już bezpośrednio do policzenia rzutu wektora?

[Tomek_Z]

No i na koniec, ortonormalizujesz bazę (ale to już jest proste, dzielisz po prostu wektory przez normy), albo korzystasz wprost z tego, że \(\displaystyle{ u_0 = \frac{u \circ e_1' }{||e_1'|| } e_1 ' + \frac{u \circ e_2' }{||e_2'|| } e_2'}\).

Oczywiście wychodzi na to samo.

[kkk]

Ok, chyba łapię, jak coś to odświeżę temat

[Tomek_Z]

To zadanie można było rozwiązać też w nieco inny sposób. Nasz poszukiwany rzut ortogonalny należy do płaszczyzny rozpinanej przez \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_2}\) zatem jest ich kombinacją liniową, czyli \(\displaystyle{ u_0 = ae_1+be_2}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\}}\). Ponieważ wektor \(\displaystyle{ u-u_0}\) jest prostopadły do tej płaszczyzny, to w szczególności jest prostopadły do obu wektorów ją rozpinających, tzn. \(\displaystyle{ \begin{cases} (u-u_0) \circ e_1 =0 \\ (u-u_0) \circ e_2 = 0 \end{cases}}\). Z tego układu możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zatem mamy wektor \(\displaystyle{ u_0}\).