Wyznaczyć hiperpłaszczyznę

[Lonc]

Wyznaczyć równanie opisujące hiperpłaszczyznę przechodzącą przez punkt P=(2,1,4) i
ortogonalną do wektora \(\displaystyle{ v=[2, -2, 1]^T}\)

Jak się zabrać za to zadanie?

[Tomek_Z]

Czy to nie będzie zwykła płaszczyzna w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), której wektorem normalnym jest \(\displaystyle{ \vec{v}}\) oraz przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\)? Równanie takiej płaszczyzny łatwo wyznaczyć.

[Lonc]

Jasne, dzięki

Mam jeszcze jedno pytanie z gatunku banalnych, a właściwie prośbę: proszę o potwierdzenie, czy to jest dobrze rozwiązane:

Sprawdzić, czy wektor \(\displaystyle{ [2\ 0\ 3]^T}\) jest kombinacją wypukłą wektorów \(\displaystyle{ [2\ 1\ 4]^T}\) i \(\displaystyle{ [2\ -2\ 1]^T}\).

Czyli rozwiązuję układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2=2a+2b\\0=a-2b\\3=4a+b \end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{2}{3} \\ b= \frac{1}{3} \end{cases}}\)

Czyli \(\displaystyle{ a+b=1}\) i \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0 \ \Rightarrow}\) Jest kombinacją wypukłą.

[Tomek_Z]

Zgadza się, jest ok.

[saeglopur]

Mogłabym prosić, żeby ktoś jednak rozwiązał to zadanie z wyznaczaniem hiperpłaszczyzny? Nie mogę sobie z nim poradzić...

[Tomek_Z]

Napisz czego konkretnie nie rozumiesz. Zadanie jest w zasadzie elementarne.

[saeglopur]

Mam problem z terminologią (wektor normalny?) i nigdy nie robiliśmy niczego analogicznego, dlatego nie wiem, jak się do tego zabrać.

[Tomek_Z]

[saeglopur]

Problem z terminologią, nie z wyszukiwarką. Skoro już zarejestrowałam się na forum, żeby uzyskać pomoc, to z pewnością wcześniej próbowałam rozwiązać zadanie na własną rękę. Niestety, wikipedia nie pomogła, bo jak napisałam wyżej, nie wiem jak się do tego zabrać. Mogłabym liczyć na instrukcję?

[Tomek_Z]

Jasno napisano, że wektor normalny to taki wektor \(\displaystyle{ [a,b,c]}\), że \(\displaystyle{ ax+by+cx + d =0}\)...

Oczywiście można wziąć dowolną wielokrotność tego wektora, tzn. dla dowolnego \(\displaystyle{ \lambda \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\}}\) wektor \(\displaystyle{ \lambda [a,b,c]}\) też jest wektorem normalnym.