Wyznaczyć T

[myther]

Dane jest przekształcenie liniowe\(\displaystyle{ T:R^{2} \rightarrow R^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ T(1,2)=(1,0,1)}\)i \(\displaystyle{ T(-1,0)=(0,1,1)}\) Wyznaczyć \(\displaystyle{ T(2,1)}\).

Jak zrobić to zadanie?

[silvaran]

Skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ T}\) jest przekształceniem liniowym oraz z \(\displaystyle{ (2,1)= \frac{1}{2}(1,2)- \frac{3}{2} (-1,0)}\)

[myther]

Właśnie, że nie wiem jak to wykorzystać. Dostaliśmy takie zadania do przerobienia, a niczego podobnego nie robiliśmy na ćwiczeniach... Czy mógłbyś mi to jakoś łopatologicznie wytłumaczyć?

[silvaran]

Z definicji przekształcenia liniowego:
\(\displaystyle{ T(x+y)=T(x)+T(y)}\) oraz \(\displaystyle{ T(cx)=cT(x)}\)

gdzie w naszym przypadku \(\displaystyle{ x=(1,2) \ y=(-1,0)}\), a \(\displaystyle{ c}\) to będą ułamki. Teraz zbierz wszystko do kupy i policz.

[myther]

Dlaczego akurat takie ułamki mamy po prawej stronie (2 post)?

[adambak]

bo silvaran zapisał wektor \(\displaystyle{ \left[ 2,1\right]^T}\) za pomocą kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ \left[ 1,2 \right]^T}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ -1,0\right]^T}\) (rozwiązanie prostego układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi).. dzięki temu korzystając z liniowości przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) możemy obliczyć szukane \(\displaystyle{ T(\left[ 2,1\right]^T )}\) za pomocą tylko wartości jakie mamy dla tych dwóch wektorów..