Pytania dotyczące macierzy

[zdzicho0]

1. Czy rozwiązując układ \(\displaystyle{ Ax=b}\) , w \(\displaystyle{ x}\) są niewiadome, mogę przekształcić za pomocą eliminacji Gaussa sama macierz \(\displaystyle{ A}\) oraz przestawiać w niej kolumny i wiersze bez konsekwencji, a potem wstawić do wzoru \(\displaystyle{ Ax=b}\) ?

b) Z jakiej własności wynika, że wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest równy wyznacznikowi otrzymanej macierzy trójkątnej górnej ?

2. Jak pokazać, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest osobliwa \(\displaystyle{ iff}\) gdy macierz \(\displaystyle{ AD^T}\) jest zerowa, gdy \(\displaystyle{ A}\) to macierz kw. st. n, \(\displaystyle{ D}\) macierz dopełnień elementów macierzy \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ D=\left[ d _{ij} \right] , d _{ij}=\left( -1\right)^{i+j}det(A_{ij})}\)

b) Niech \(\displaystyle{ B= \beta A}\). Jak udowodnić, że macierz dopełnień \(\displaystyle{ B}\) jest równa \(\displaystyle{ \beta ^{n-1}D}\), gdzie D takie jak w poprzednim punkcie.

3. Kiedy układ równań ma rozwiązanie jednoznaczne w zależności od parametru ? Np. Układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} dx_1+x_2+x_3=1\\x_1+dx_2+x_3=1\\x_1+x_2+dx_3=1 \end{array}}\)

4. Kiedy macierz jest diagonalizowalna?

Narazie tyle, jeśli coś jeszcze wyjdzie napisze. Prosiłbym o poprostu odpowiedzi zdaniowe. Rozwiązania sam dojdę do swoich zadań tylko potrzebuje jak najwięcej informacji

[bartek118]

1. a) Nie, musisz też przekształcać wektor \(\displaystyle{ b}\)

b) Z tego, że wyznacznik się nie zmienia po odjęciu jednego wiersza od drugiego pomnożonego przez skalar. Zmienia się jedynie jego znak przy zamianie wierszy.

2. Chyba z definicji permutacyjnej wyznacznika wyjdzie bez problemów.

3. Popatrz np. na Twierdzenie Cramera, albo na Twierdzenie Kroneckera-Capellego

4. Gdy ma \(\displaystyle{ n}\) różnych wartości własnych.

[miki999]

1. nie

b) z rozwinięcia Laplace'a (jeżeli chodzi Ci o to, że wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów leżących na przekątnej)

2. Może z zależności \(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det A} D^T}\)?

b) Definicja wprost + zauważyć jak zmienia się wyznacznik macierzy przemnożonej przez liczbę.

4. Kiedy krotność geometryczna jest równa krotności algebraicznej dla dowolnej wartości własnej.

(pisałem posta zanim pojawiła się powyższa odp., ale że trochę inaczej to ująłem, to może post będzie pomocny)

[zdzicho0]

Czyli do pierwszego jeszcze:

Czyli biorę macierz rozszerzona \(\displaystyle{ \left[ A|b\right]}\). Tworze macierz trójkątną górną.

Taka macierz to trójkątna górna : (?)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1|1\\0&1&-6|2\\0&0&10|0\end{bmatrix}}\)

Kolejno kolumny to \(\displaystyle{ x_1, x_3, x_2}\), \(\displaystyle{ b}\)