Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

Chciałbym zacząć od tego, że proszę o pomoc w wytłumaczeniu krok po kroku, co i dlaczego. Napisanie na tym forum było dla mnie ostatecznością, dlatego proszę o niewysyłanie mi żadnych linków do wzorów, czy wikipedii, ponieważ sprawdzałem je i głowiłem się nad nimi długi czas. Jednak jeśli posiadacie linki, do dobrego "łopatologicznego" wytłumaczenia chętnie skorzystam.

Więc: czy moglibyście rozwiązać te zadania pisząc komentarze co i po co to robicie?

1.Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) jest dane w bazie \(\displaystyle{ e_{1} =(-2,-1), e_{2} =(5,2)}\) poprzez macierz

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\2&1\end{array}\right]}\)

Obliczyć \(\displaystyle{ f(1,-1)}\).

2.Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) spełnia \(\displaystyle{ f(2,1,1)=(4,5)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1,-3,2)=(-6,1)}\). Czy wartości:
(a) \(\displaystyle{ f(5, 6, 1)}\) ;
(b) \(\displaystyle{ f(4, 1, 5)}\)
są jednoznacznie zdeterminowane przez podany warunek. Odpowiedź uzasadnić.

Będę wdzięczny za jakąkolwiek pomoc, bo nie potrafie sobie z tym poradzić.
Ostatnio zmieniony 6 sty 2012, o 13:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

Ad 1)
Czy potrafisz zapisać wektor \(\displaystyle{ (1,-1)}\) jako kombinację wektorów \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_2}\)?

Ad 2)
Czy \(\displaystyle{ (5,6,1)}\) da się zapisać jako kombinacja liniowa \(\displaystyle{ (2,1,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,-3,2)}\)?
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

1)
\(\displaystyle{ (1,-1)=7*(-2,-1) + 3*(5,2)}\)

2)
\(\displaystyle{ (5,6,1)=3*(2,1,1)+(-1)*(1,-3,2)}\)

O ile dobrz zrozumiałem w obu przypadkach.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

W takim razie

\(\displaystyle{ f(1,-1)=f(7\cdot e_1+3\cdot e_2)}\)

i dalej można skorzystać z liniowości.
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

Wybacz, ale nie ogarniam. :/ Dlatego prosiłem krok po kroku i z wyjaśnieniami.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

Ale mam nadzieję, że wiesz, co to jest przekształcenie liniowe. Bez tego zadanie dalej nie pójdzie.
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

Tak, wiem.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

To w takim razie ile to jest \(\displaystyle{ f(7\cdot e_1+3\cdot e_2)}\)?
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

Gdybym wiedział, to bym nie prosił o pomoc. :/ Rozumiem przekształcenie liniowe z teorii, ale nie potrafię go zastosować w przykładzie, dlatego piszę.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe, to

\(\displaystyle{ f(7\cdot e_1+3\cdot e_2)=f(7\cdot e_1)+f(3\cdot e_2)=7\cdot f(e_1)+3\cdot f(e_2)}\).

To przepisałem z definicji przekształcenia liniowego. Dalej trzeba spojrzeć na treść zadania i zobaczyć, co to jest \(\displaystyle{ f(e_1)}\) i \(\displaystyle{ f(e_2)}\).
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

To rozumiem, ale nie rozumiem co nam to daje. I nie potrafię stwierdzić ile równe jest \(\displaystyle{ f(e_{1})}\) i \(\displaystyle{ f(e_{2})}\). Jeżeli możemy, to w jakiś prosty sposób na tych wartościach, to czemu nie na od razu podanych \(\displaystyle{ (1,-1)}\)?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

acetoja pisze:I nie potrafię stwierdzić ile równe jest \(\displaystyle{ f(e_{1})}\)
To jest napisane w pierwszej kolumnie macierzy \(\displaystyle{ A}\). Mianowicie

\(\displaystyle{ f(e_1)=1\cdot e_1+2\cdot e_2}\).
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

W takim wypadku analogicznie \(\displaystyle{ f(e_{2})=1*(-2,-1)+1*(5,2)}\)? Czyli całość \(\displaystyle{ f(1,-1)=(65,24)}\)?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: norwimaj »

Nie sprawdzam czy dokładnie tyle wychodzi, ale w każdym razie jest to jakiś jednoznacznie wyznaczony wynik.

To pewnie widzisz już, że w zadaniu 2 a) jest podobnie.
acetoja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 6 sty 2012, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

Post autor: acetoja »

Zapisać \(\displaystyle{ f(5,6,1)}\) jako kombinację \(\displaystyle{ f(2,1,1)}\) i \(\displaystyle{ f(1,-3,2)}\) ? Potem odpowiednio przemnożyć wartości i je dodać? Trochę strzelam, bo nie jestem pewny odpowiedzi.
ODPOWIEDZ