Macierz odwzorowania i wartości jednoznacznie zdeterminowane

[norwimaj]

Tak. To znaczy wystarczy sprawdzić, że \(\displaystyle{ (5,6,1)}\) jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ (2,1,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,-3,2)}\), co już zrobiłeś. Na tej podstawie można, tak jak poprzednio, wyliczyć wartość \(\displaystyle{ f(5,6,1)}\). Nie trzeba jednak tego liczyć, bo w zadaniu pytają tylko, czy się da.

A co z zadaniem 2 b)?

[acetoja]

Próbowałbym tak samo. Jeśli da się zapisać jako kombinacja liniowa to jest ok. Czy powinienem to zrobić jakimś innym sposobem?

[norwimaj]

A uda się zrobić tak samo? Według moich obliczeń układ \(\displaystyle{ (2,1,1), (1,-3,2), (4,1,5)}\) jest liniowo niezależny.

[acetoja]

Czyli wtedy odpowiedź jest, że wartość nie jest jednoznacznie zdefiniowana. Czy trzeba próbować innym sposobem?

[norwimaj]

Odpowiedź jest, że wartość nie jest jednoznacznie zdefiniowana, a nawet wartość \(\displaystyle{ f(4,1,5)}\) może być dowolna.

[acetoja]

Dzięki ci bardzo. Chciałbym jeszcze prosić o pomoc w tym zadaniu, które zapomniałem wcześniej umieścić:

Odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) jest dane w bazie \(\displaystyle{ e_{1} =(-2,-1), e_{2} =(5,2)}\) poprzez macierz

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&1\end{array}\right]}\)

Znaleźć macierz odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ e_{1} =(3,1), e_{2} =(1,2)}\).

Wiem, że pierwsza baza jest taka sama jak w zadaniu pierwszym, ale wcześniej po prostu źle przepisałem. Wystaczy jakiś wzór, czy podpowiedź schemat jak to zrobić.

[norwimaj]

Masz konflikt oznaczeń \(\displaystyle{ e_1}\) i \(\displaystyle{ e_2}\)

Mając dany wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\) w bazie \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\), aby otrzymać wynik, musisz

1. policzyć współrzędne wektora w bazie standardowej:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}3&1\\1&2\end{bmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\),

2. policzyć współrzędne wektora w bazie \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-2&5\\-1&2\end{bmatrix}^{-1}\cdot\begin{bmatrix}3&1\\1&2\end{bmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\),

3. zadziałać przekształceniem:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&1\\3&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-2&5\\-1&2\end{bmatrix}^{-1}\cdot\begin{bmatrix}3&1\\1&2\end{bmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\),

wynik otrzymujemy w bazie pierwszej, więc jeszcze trzeba

4. policzyć współrzędne wyniku w bazie standardowej:

...

5. policzyć współrzędne wyniku w drugiej bazie:

...

Ostatecznie macierz przekształcenia jest równa:

...

[acetoja]

Już sobie poradziłem z tym zadaniem. Dzięki bardzo.