Udowodnić wymiar podprzestrzeni

[adambak]

Niech \(\displaystyle{ f : X \rightarrow Y}\) będzie przekształceniem liniowym, a \(\displaystyle{ Y_1 \subseteq \text{im}(f)}\) podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\). Niech dalej:

\(\displaystyle{ X_1=\left\{ x\in X : f(x)\in Y_1 \right\}}\)

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \text{dim }X_1=\text{dim} \left( \text{ker}(f)\right)+\text{dim }Y_1}\)


kombinowałem jakoś w ten sposób:
definiując obcięcie przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) do dziedziny \(\displaystyle{ X_1}\) otrzymujemy przekształcenie \(\displaystyle{ g : X_1 \rightarrow Y_1}\) takie, że \(\displaystyle{ \forall_{x\in X_1} g(x)=f(x)}\).. wiemy, że wymiar dziedziny przekształcenia liniowego to suma wymiarów jądra i obrazu tego przekształcenia.. ale skoro \(\displaystyle{ Y_1 \subseteq Y}\) oraz przekształcenie \(\displaystyle{ g}\) jest "na" \(\displaystyle{ Y_1}\) to \(\displaystyle{ \text{im}(g)=Y_1}\), wobec czego:

\(\displaystyle{ \text{dim }X_1=\text{dim}(\text{ker}(g)) + \text{dim}(\text{im(g)})=\text{dim}(\text{ker}(g)) + \text{dim }Y_1}\)

no i to jest prawie to co chcemy.. ale nie rozumiem, czemu miałoby zachodzić \(\displaystyle{ \text{dim}(\text{ker}(g))=\text{dim}(\text{ker}(f))}\).. a może w ogóle zachodzi \(\displaystyle{ \text{ker}(g)=\text{ker}(f)}\)? jakoś to do mnie nie przemawia, bo elementami jądra są elementy dziedziny, a skoro dziedzina \(\displaystyle{ g}\) jest obcięciem dziedziny \(\displaystyle{ f}\) to nie wydaje mi się oczywiste, żeby miały się w jądrach znaleźć te same elementy zawsze.. chyba, że jakoś inaczej trzeba ugryźć to zadanie?

[marcinz]

\(\displaystyle{ 0\in Y_1}\), więc \(\displaystyle{ ker(f)=\left\{ x\in X : f(x)=0\ (\in Y_1)\right\}=\left\{ x\in X_1 : g(x)=0 \right\}}\)

[adambak]

no tak, racja.. wielkie dzięki-- 6 sty 2012, o 19:25 --zapomiałem o definicji :-/
że zero zawsze jest w przestrzeni liniowej, ale już w porządku..