Macierz odwrotna

[Eatos]

Witam. Otóż mam pewną macierz, której odwrotność za nic nie chce mi wyjsćć, choć liczyłem to już 8 razy, zawsze to samo, zawsze źle, albo ja mnożyć nie umiem.

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(D\right)^T}\)

Gdzie D to macierz dopełnień.

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\0&1&-1&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Macierz jest trójkątna, więc \(\displaystyle{ det(A)=1*1*1*1=1}\).
Czyli \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(D\right)^T=\left(D\right)^T}\). Fajnie.

Macierz dopelnień algebraicznych:
gdzie \(\displaystyle{ d_{ij}=(-1) ^{i+j}*a _{ij}*det(A _{ij})}\)
gdzie \(\displaystyle{ det(A _{ij})}\) oznacza wyznacznik macierzy bez i-tej koulmny i j-tego wiersza.

Fajnie:

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cccc}d_{11}&d_{12}&d_{13}&d_{14}\\0&d_{22}&d_{23}&d_{24}\\0&0&d_{33}&d_{44}\\0&0&0&d_{44}\end{array}\right]}\)

(bo \(\displaystyle{ d_{ij}=(-1) ^{i+j}*0*det(A _{ij})=0}\)

I tu już jest kicha, bo za Chiny nie przetransponuję tego do takiej postaci ( ), choćby nie wiem co tam było.

Nie mam już siły do tego zadania.

EDIT:

Łoooo szid, widzę ><'....
\(\displaystyle{ d_{ij} \neq (-1) ^{i+j}*a _{ij}*det(A _{ij})}\)
tylko
\(\displaystyle{ d_{ij}=(-1) ^{i+j}*det(A _{ij})}\)

-_-''...to już zrobie to do końca ><''...

_____________________________________________________

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(D\right)^T}\)

Gdzie D to macierz dopełnień.

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\0&1&-1&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Macierz jest trójkątna, więc \(\displaystyle{ det(A)=1*1*1*1=1}\).
Czyli \(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(D\right)^T=\left(D\right)^T}\). Fajnie.

Macierz dopelnień algebraicznych:
gdzie \(\displaystyle{ d_{ij}=(-1) ^{i+j}*det(A _{ij})}\)
gdzie \(\displaystyle{ det(A _{ij})}\) oznacza wyznacznik macierzy bez i-tej koulmny i j-tego wiersza.

\(\displaystyle{ D = \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ D ^{T} = \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\0&1&-1&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

-__0...

[kkk]

Wybrałeś chyba najgorszą metodę - z minorami i dopełnieniami.
Dużo lepiej tak (zrobiłem całość w 2 minuty na kartce):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&-1\\0&1&-1&1\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{array}\right| \left.\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

Całości w tex-u rozpisywać nie będę, ale ogólnie masz doprowadzić taką macierz uzupełnioną do postaci, w której - po lewej stronie kreski będzie macierz jednostkowa, to wtedy po prawej masz macierz odwrotną.
Możesz po kolei dokonać takich przekształceń:
\(\displaystyle{ w_{3} + w_{4} \\
w_{2} + w_{3} - w_{4} \\
w_{1} + w_{2} - w_{3} + w_{4}}\)
jak się nie pomylisz, to wyjdzie. w - oznacza wiersz, cyfra w indeksie informuje który.

Spróbuj, bo to dużo prostsza i szybsza metoda.
Pzdr.

[miki999]

W sumie to w tym przypadku liczenie dopełnień też nie jest jakieś szczególnie skomplikowane (ale zgadzam się, że powyższa metoda na ogół jest szybsza i daje mniej okazji do pomyłek).

W każdym razie macierz \(\displaystyle{ D}\) została źle wyznaczona. Transponuj wynik z Wolframa, to zobaczysz jak \(\displaystyle{ D}\) powinno wyglądać, sprawdź elementy, które Ci się nie zgadzają i zobacz, że rzeczywiście robisz błąd.


Pozdrawiam.