Rozwiąż dowolną metodą układ równań

[mentor921]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=3\\x+y+2z=-1\\2x -2z=2\end{cases}}\)

w 3 równaniu jest przerwa między 2x a -2z, ale nie wiem jak to w latexie zrobic.

zacząłem to rozwiązywać metodą gausa. Zmieniłem to na

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&1&3\\1&1&2&-1\\2&0&-2&2\end{array}\right]}\)

przed ostatnią kolumną powinna być linia przerywana, ale nie mam pojęcia jak ją zrobić, w tutorialu do latexa nie widziałem nic na ten temat.

Anyway, zrobiłem to sobie metodą Gaussa no i otrzymałem coś takiego

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0& \frac{1}{2} \\0&1&0&- \frac{3}{2} \\0&0&1&-1\end{array}\right]}\)

No i po zrobieniu chcę sprawdzić wyniki x,y,z a tu zonk, bo w odpowiedziach widzę odpowiednio

\(\displaystyle{ x=a+1\\ y=2a-1\\ z=a \in R}\)

I nie mam pojęcia skąd to się wzieło. Zauważyłem, że w dalszych odpowiedziach do zadań jest naprzemiennie albo podane w taki sposób jak wyżej albo normalnie, że x to tyle, y to tyle i z to tyle. Mógły mi ktoś wyjaśnić kiedy i jak pisze się z tym 'a' a kiedy normalne wyniki? A może w ogóle źle wykonuje to zadanie i trzeba użyć innej metody?

[anna_]

Mi wyszło:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 1\\ y= -2\\z=0\end{cases}}\)

[mentor921]

możliwe że gdzieś się pomyliłem, w każdym razie chciałbym wrócić do pytania wcześniejszego, o co chodzi z tym 'A', kiedy i jak to zapisywać? Kiedy z kolei zapisywać normalne odpowiedzi (x=n, y=n, z=n)?

[anna_]

Sprawdź czy dobrze to przepisałeś, bo to rozwiązanie podane w książce nie spełnia dwóch pierwszych równań układu.

[mentor921]

Przepisane jest dobrze, poprzednie odpowiedzi się zgadzają. Zakładając, że jest to jakiś błąd mogłabyś mi wytłumaczyć jak mam postępować z tym 'a'? Kiedy to stosować? No i kiedy pisać normalne wyniki?

[anna_]

Mógłbyś mi podać przykład z książki, w którym masz w odpowiedzi jakieś \(\displaystyle{ a}\)?

[mentor921]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=5\\2x+3y-3z=2\\-x-2y+4z=3 \end{array}}\)

i odpowiedzi do tego to

\(\displaystyle{ x=13-6a \\ y=-8+5a \\ z=a \in R}\)

i do tego zadania jest napisane \(\displaystyle{ zal: a \neq 1}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=5\\2x+3y-3z=2\\-x-2y+4z=3 \end{array}}\)

Sprawdziłam, wyniki się zgadzają.

Mogę to wyjaśnić ewentualnie tylko na tradycyjnej metodzie, czyli podstawiania.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=5\\2x+3y-3z=2\\-x-2y+4z=3 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=5-y-z\\2(5-y-z)+3y-3z=2\\-(5-y-z)-2y+4z=3 \end{array}}\)
po uproszczeniu mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=5-y-z\\y=-8+5z\\y=-8+5z \end{array}}\)

Dwa ostatnie równania są identyczne, czyli układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań.
Obieramy sobie wtedy jedną z niewiadomych za parametr \(\displaystyle{ z=a}\)
Wtedy otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=5-(-8+5a)-a\\y=-8+5a\\z=a \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=13-6a \\y=-8+5a\\z=a \end{cases}}\)

Niestety nie potrafię powiedzieć skąd się wzięło założenie \(\displaystyle{ a \neq 1}\)

[mentor921]

czyli to o to chodzi.. dzieki, w zyciu bym na to nie wpadl