Baza obrazu macierzy.

bezsensu · Post autor: **bezsensu** » 3 sty 2012, o 11:19

Może głupie pytanie, ale nie umiem wyznaczać bazy obrazu macierzy.....bazę jądra macierzy umiem ,bo jest na to określony algorytm (rozwiązuje sie równanie Ax=0) ,ale nie mam pojęcia jak szukac baz obrazu macierzy.....proszę o pomoc...

adambak · Post autor: **adambak** » 3 sty 2012, o 14:53

sprowadź macierz do postaci trójkątnej za pomocą operacji elementarnych na kolumnach macierzy (jednocześnie usuwająć kolumny liniowo zależne).. kolumny które zostaną będą liniowo niezależne i będą stanowić przykład bazy obrazu macierzy.. istotne jest, że operacje mają być na kolumnach, koniecznie..

bezsensu · Post autor: **bezsensu** » 3 sty 2012, o 17:06

dlaczego koniecznie na kolumnach? jak sprowadzę macierz do macierzy trójkątnej to w ten sposób wyeliminuję zależne liniowo wiersze ,a nie kolumny chyba..

adambak · Post autor: **adambak** » 3 sty 2012, o 18:11

bezsensu pisze:dlaczego koniecznie na kolumnach?

bo operacje elementarne na kolumnach macierzy nie zmieniają jej obrazu, a tego chcemy..

jak sprowadzę macierz do macierzy trójkątnej to w ten sposób wyeliminuję zależne liniowo wiersze ,a nie kolumny chyba..

no nie.. zobacz, chodziło mi głównie o sytuację kiedy mamy na przykład macierz \(\displaystyle{ A\in\mathbb{R}^{3,4}}\) no to napewno conajmniej jedna kolumna się skasuje, wyzeruje, bo rząd macierzy ma być mniejszy równy niż minimum z liczby kolumn i liczby wierszy..

bezsensu · Post autor: **bezsensu** » 3 sty 2012, o 19:15

czyli jezeli np. macierz ma rząd równy 2 to obrazem jego macierzy beda dwie pierwsze kolumny macierzy wyjsciowej?

adambak · Post autor: **adambak** » 3 sty 2012, o 19:19

nie śpieszyłbym się ze stwierdzeniem, że będą to dwie pierwsze kolumny.. a co jeśli byłyby one między sobą liniowo zależne? jednak ciepło, ciepło bo na mocy:

\(\displaystyle{ rz A=dim\left( \mathcal{R}(A) \right)}\)

jesli byśmy mieli \(\displaystyle{ rz A=2}\) to bazę obrazu tej macierzy \(\displaystyle{ A}\) będą stanowiły jakieś dwie liniowo niezależne kolumny tej macierzy (przykładowo, bo baza nie jest wyznaczona jednoznacznie).. wystarczy je wtedy tylko znaleźć..-- 3 sty 2012, o 20:25 --no i oczywiście jesli wyjściową (a może wejściową? no tą co masz na poczatku) macierz potraktujesz operacjami elementarnymi na kolumnach sprowadzając do trójkątnej i zerując liniowo zależne no to otrzymasz na samym końcu zera i jakieś kolumny których nie da się już wyzerować całkiem bo są liniowo niezależne.. wtedy ich ilość to rząd macierzy = wymiar bazy obrazu macierzy i oczywiście możesz je wziąć jako przykład bazy obrazu macierzy (no bo po co wymyślać inne, bierzemy te i mamy bazę obrazu)..