izomorfizm i przekształcenia izomorficzne

[kalafior00000]

Jak sprawdzić czy dane przekształcenie jest izomorfizmem?
Bądź czy dane grupy sa izomorficzne?
Bo ja niby rozumiem, ze musi zachodzic wtedy homomorfizm i bijekcja, ale kompletnie nie wiem, jak sie za to zabrac...

[TPB]

Żeby sprawdzić, że coś jest izomorfizmem musisz najzwyczajniej w świecie sprawdzić warunki na izomorfizm. Na przykład weźmy sobie dowolne grupy:
\(\displaystyle{ (G,+)}\) oraz \(\displaystyle{ (H, \cdot )}\). Rozważmy odwzorowanie \(\displaystyle{ f: G \rightarrow H}\). Jeżeli spełnia ono dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in G}\) następujący warunek
\(\displaystyle{ f(x+y) = f(x) \cdot f(y)}\) oraz f jest bijekcją, to f jest izomorfizmem. Jeżeli istnieje izomorfizm pomiędzy grupami, to są one izomorficzne.

Jeżeli masz wykazać, że dane dwie grupy są izomorficzne, to musisz 'wpaść' na to, które przekształcenie może być izomorfizmem. Potem sprawdzasz warunki i gotowe.

Na przykład grupy: \(\displaystyle{ (R,+)}\) i \(\displaystyle{ (R_{+}, \cdot )}\) z normalnym mnożeniem oraz dodawaniem są izomorficzne. Aby się o tym przekonać, poszukujemy odwzorowania \(\displaystyle{ f: R_{+} \rightarrow R}\), które jest bijekcją oraz spełnia warunek: \(\displaystyle{ f(ab)=f(a)+f(b)}\) dla dowolnych dodatnich liczb a,b. Nietrudno sprawdzić, że funkcja logarytm naturalny (w sumie o dowolnej podstawie) spełnia warunki. Ponadto jest ona różnowartościowa i "na". Zatem podane tutaj grupy są izomorficzne.

[kalafior00000]

no tak, ale jak sprawdzić czy coś jest bijekcją?

[TPB]

Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie injekcją (czyli funkcją różnowartościową) oraz surjekcją (obraz odwzorowania jest równy przeciwdziedzinie).

Różnowartościowość można sprawdzić na dwa sposoby. zakładamy, że wartość funkcji dla dwóch argumentów jest równa i wykazujemy, że stąd wynika równość argumentów. Drugi sposób: zakładamy, że mamy dwa różne argumenty i dowodzimy, że funkcja przyjmuje różne wartości.

Surjektywność, tu badasz obraz funkcji. Jak jest równy przeciwdziedzinie to jest surjekcją, w przeciwnym razie nie jest.

[kalafior00000]

czyli obraz funkcji to nie jest po prostu przeciwdziedzina?

[TPB]

Nie zawsze. Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji wtedy i tylko wtedy gdy nasza funkcja jest srujekcją. Rozważ przykład funkcji: \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\). Obrazem jest tutaj przedział \(\displaystyle{ \left[ 0,+ \infty \right]}\). Więc na pewno obraz funkcji nie jest równy przeciwdziedzinie

[TPB]

gdzie \(\displaystyle{ f(x) = x^{2}}\), bo o tym zapomniałem