Witam.
1. Czy prawdziwe są następujące równoważności:
a) Macierz \(\displaystyle{ 3x3}\) można zdiagonalizować wtedy i tylko wtedy, gdy suma krotności pierwiastków wielomianu charakterystycznego jest równa \(\displaystyle{ 3}\).
b) Macierz \(\displaystyle{ 3x3}\) można zdiagonalizować ortogonalnie wtedy i tylko wtedy, gdy suma krotności pierwiastków wielomianu charakterystycznego jest równa \(\displaystyle{ 3}\).
2. Mam także pytanie odnośnie wyznaczania wektorów własnych w diagonalizacji ortogonalnej. Najpierw wyznaczam dowolnie(w tym sensie, że podstawiam już konkretne wartości liczbowe) wektor \(\displaystyle{ X _{1}}\)(o długości \(\displaystyle{ 1}\)), później wyznaczam wektor \(\displaystyle{ X _{2}}\) prostopadły do \(\displaystyle{ X _{1}}\) i jednostkowy(korzystając z iloczynu skalarnego), a na koniec \(\displaystyle{ X _{3}}\) jako iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ X _{1}}\) i \(\displaystyle{ X _{2}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ X _{1}}\), \(\displaystyle{ X _{2}}\) i \(\displaystyle{ X _{3}}\) mają pewną ustaloną postać, którą trzeba wyznaczyć z równości \(\displaystyle{ T(X)=tX}\).
Czy te rozumowanie jest poprawne?