W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) dane są dwie podprzestrzenie
\(\displaystyle{ U={(a, b, -b, a)\in R^{4} : a, b\in R}\), oraz
\(\displaystyle{ W={(x,y,z,w)\in R^{4} : x+w=0 i y=z}}\).
Wyznaczyć wymiar i podać przykłady baz dla podprzestrzeni
\(\displaystyle{ U, W, U\cap W}\) oraz \(\displaystyle{ U+W}\)
wymiar i podac przykład bazy
-
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
wymiar i podac przykład bazy
Czy znasz pojęcie bazy? Dla podprzestrzeni U weźmy np.
\(\displaystyle{ \left\{ (1,0,0,1),(0,1,-1,0)\right\}}\)
Sprawdź czy jest to układ wektorów liniowo niezależnych. Czy ten zbiór generuje przestrzeń \(\displaystyle{ U}\)? Jeżeli tak, to jaki jest w takim razie wymiar przestrzeni U?
\(\displaystyle{ \left\{ (1,0,0,1),(0,1,-1,0)\right\}}\)
Sprawdź czy jest to układ wektorów liniowo niezależnych. Czy ten zbiór generuje przestrzeń \(\displaystyle{ U}\)? Jeżeli tak, to jaki jest w takim razie wymiar przestrzeni U?
Ostatnio zmieniony 2 sty 2012, o 15:23 przez TPB, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 18 paź 2011, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 13 razy
wymiar i podac przykład bazy
Są liniowo niezależne tylko właśnie nie rozumię jak się sprawdza czy generują przestrzeń?-- 2 sty 2012, o 12:26 --Nie już wiem
Tylko z tym przecięciem mam problem...
Tylko z tym przecięciem mam problem...
-
- Użytkownik
- Posty: 500
- Rejestracja: 19 lip 2011, o 09:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zielona Góra
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 79 razy
wymiar i podac przykład bazy
Wektory należące do przestrzeni U są postaci (a,b,-b,a), zaś do W należą wektory postaci: (a,b,b,-a). Czyli, wektor należący do przekroju musi być postaci pierwszej oraz tej drugiej. Zauważ, że -b=b gdy b=0. Analogicznie a=-a gdy a=0. zatem do przekroju należy wektor postaci (0,0,0,0).-- 2 sty 2012, o 14:08 --Można też tak sobie ułatwić ten przykład:
\(\displaystyle{ U \cap W = \left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in R^{4}: x_1=x_4 \wedge x_2=-x_3 \wedge x_1=-x_4 \wedge x_{2}=x_{3} \right\}}\).
W ten sposób od razu możemy zauważyć, że do przekroju należy tylko wektor zerowy.
\(\displaystyle{ U \cap W = \left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) \in R^{4}: x_1=x_4 \wedge x_2=-x_3 \wedge x_1=-x_4 \wedge x_{2}=x_{3} \right\}}\).
W ten sposób od razu możemy zauważyć, że do przekroju należy tylko wektor zerowy.