Sprawdź czy zbiór jest podprzestrzenią

[mativx]

Mam problem z zadaniem, ponieważ nie jestem pewien czy dobrze określam należnośc lub nie należność poszczególnych warunków podprzestrzeni. Proszę o sprawdzenie moich obliczeń.

Zad.1
Sprawdź czy zbiór Y jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej, wektorów w \(\displaystyle{ R^2}\)jeżeli:

a)\(\displaystyle{ Y=\{(x,y) \in R^2: y=2x \}}\)
b)\(\displaystyle{ Y=\{(x,y) \in R^2: y=x+1 \}}\)
c)\(\displaystyle{ Y=\{(x,y) \in R^2: \sqrt{y^2+x^2} \le 1 \}}\)

Z definicji podprzestrzeni:
\(\displaystyle{ 1.\forall x,y \in A : x+y \in A \\
2. \forall \alpha \in K \wedge z \in A : \alpha \cdot z \in A.}\)

W moich zadaniach wyszło mi:
Niech \(\displaystyle{ x=[x_1,x_2], \ y=[y_1, y_2], \ \ x, y \in R^2}\)
a)\(\displaystyle{ 1. x+y=[x_1+y_1,2(x_1+x_2] \in A \\
2. \alpha*x=[\alpha x_1, 2\alpha x_1] \\}\) W 2. tutaj sie zastanawiam czy nalezy czy nie ale chyba nie należy

b)\(\displaystyle{ 1. x+y=[x_1+y_1,x_1+y_1+2] \in A \\
2. \alpha*x=[\alpha x_1, \alpha x_1+\alpha]\\}\) w 2.znowu sie zastanawiam ale nie wiem

c)\(\displaystyle{ 1. x+y=[x_1+y_1,\sqrt{1-x_1^2}+\sqrt{1-y_1^2} ] \\
2. \alpha*x=[\alpha x_1, \alpha \sqrt{1-x_1^2}]}\) Tutaj nie wiem co bedzie i w 1 i w 2.

Może ktoś coś poradzić?

[tometomek91]

a) 2. Należy. Jest następnik dwa razy większy od poprzednika? Jest. Więc należy
b) 1. Czy następnik jest o jeden mniejszy od poprzednika? Nie. Jest o dwa mniejszy, więc nie jest podprzestrzenią.

[mativx]

A w takim razie co z przykładem c?

[tometomek91]

W c) jest niezrozumiały zapis. Może nie ma być tego \(\displaystyle{ y=}\)

[mativx]

zgadza sie tego poczatkowego y= ma nie być

[tometomek91]

No to wtedy jest to zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w początku układu współrzędnych, "niewystających" poza okrąg jednostkowy o środku w początku układu, tzn. długości tych wektorów są mniejsze równe jeden. Pierwszy warunek na podprzestrzeń mówi, że jeśli weźmiemy takie dwa wektory, to ich suma, czyli pewien wektor "wypadkowy", też musi siedzieć w tym okręgu. Łatwo widać, dodając wektory metodą równoległoboku, że jeśli weźmiemy dwa wektory z tego zbioru dostatecznie "długie" i takie, że ich kieunki tworzą "dość mały" kąt, to ich suma oczywiście będzie "wystawać" poza ten okrąg i nie będzie to podprzestrzenią. Istotnie: \(\displaystyle{ (1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\) w sumie dają wektor o długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), mianowicie \(\displaystyle{ (1,1)}\), któy nie jest z tego zbioru.