Przekształcenie liniowe, bijekcja

[adambak]

\(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniową, przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:X \rightarrow X}\) ma własność \(\displaystyle{ f \circ f =0}\). Pokaż, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ g(x)=x+f(x)}\) jest bijekcją na \(\displaystyle{ X}\)..

[szw1710]

Różnowartościowość: skorzystaj z założenia. Dla odwzorowań liniowych wystarczy sprawdzić warunek \(\displaystyle{ g(x)=0\iff x=0}\). Więc rozpisz to na \(\displaystyle{ f}\) i pokombinuj. Wymyślisz, jak Cię obserwuję na Forum, to wiem, że to zrobisz.

"Na" jeszcze się nie zastanawiałem, ale jakoś podobnie to wyjdzie.

[Wasilewski]

Ja może napiszę trochę ogólniej: jeśli przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f}\) jest nilpotentne (czyli \(\displaystyle{ f^{n}=0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)), to \(\displaystyle{ \mbox{Id} \pm f}\) jest bijekcją.
Dowód:
\(\displaystyle{ \mbox{Id} = \mbox{Id} \pm f^{n} = \ldots}\).

[szw1710]

Przykład nilpotenta na szybko poproszę (sam inne rzeczy teraz robię ). Może być z kwadratem.

[Wasilewski]

Najprostszy przykład (na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\)): \(\displaystyle{ f(x,y) = (y,0)}\).

[szw1710]

Dokładnie. Dzięki.