Wyznacznik macierzy, dowód

[adambak]

W macierzy \(\displaystyle{ A\in\mathbb{K}^{n,n}}\) na przecięciach pewnych \(\displaystyle{ k}\) wierszy z pewnymi \(\displaystyle{ l}\) kolumnami znajdują się elementy równe \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ k+l>n}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \det A =0}\)

nie wiem jak się do tego zabrać..

[szw1710]

Bierzemy macierz \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) oraz \(\displaystyle{ k=l=2}\). Więc \(\displaystyle{ k+l=4>2=n.}\) Założenia spełnia np. macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
4&0\\ 0&4
\end{bmatrix}\,,}\)

której wyznacznik nie jest zerowy.

[Qń]

Bierzemy macierz \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) oraz \(\displaystyle{ k=l=2}\). Więc \(\displaystyle{ k+l=4>2=n.}\) Założenia spełnia np. macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
4&0\\ 0&4
\end{bmatrix}\,,}\)

Ta macierz nie spełnia założeń - z grubsza rzecz biorąc (z dokładnością do permutacji wierszy i kolumn, co nie wpływa na zerowanie się wyznacznika) chodzi o to, żeby w macierzy był prostokąt o wymiarach \(\displaystyle{ k\times l}\), który składa się z samych zer.

Q.

[szw1710]

Qń, rozumiem, co chciałeś powiedzieć. Jak ja odczytałem treść zadania? Otóż tak, że elementami tego prostokąta mogą być zera oraz \(\displaystyle{ k+l}\):

... znajdują się elementy równe \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ k+l>n}\)

To ostatnie jest założeniem na wymiar. A ja odczytałem, że \(\displaystyle{ k+l}\) może być elementem macierzy.

adambak, po uwadze Qń-a dla macierzy \(\displaystyle{ 3\times 3}\) rzecz staje się oczywista. NIerówność \(\displaystyle{ k+l>3}\) ma realizację tylko dla \(\displaystyle{ 1+3,3+1,2+2}\). Jeśli mamy kwadrat z samymi zerami, to są dwa wiersze lub dwie kolumny proporcjonalne, więc wyznacznik jest równy zero. Jeśli mamy realizację \(\displaystyle{ 3+1}\) bądź \(\displaystyle{ 1+3}\) to w macierzy jest wiersz badź kolumna z samymi zerami i też mamy wyznacznik zerowy. Jeszcze oczywiście trywialne \(\displaystyle{ 3+3}\). Chodzi o to, że założenie \(\displaystyle{ k+l>n}\) implikuje, że ten prostokąt nie może być za mały. Przynajmniej jeden z jego wymiarów musi być większy niż połowa liczby kolumn (lub wierszy). Potestowałbym jeszcze przypadek \(\displaystyle{ 4\times 4}\), bo tam będą mniej trywialne realizacje. \(\displaystyle{ k+l>4}\), co daje \(\displaystyle{ 1+4,4+1}\) (kolumna zerowa - lub wiersz), \(\displaystyle{ 2+3,3+2}\) (kolumny lub wiersze proporcjonalne), \(\displaystyle{ 4+4}\) trywialne. Chyba widać, jak to dalej powinno iść. Otóż albo wiersz zerowy (kolumna zerowa), albo wiersze proporcjonalne (kolumny proporcjonalne).

[adambak]

szw1710, też tak na początku zrozumiałem potem się zorientowałem, że jest tak jak pisze Qń..