Wykazać że przestrzeń wektorowa l2 jest unitarna.

[cypher08]

Hej. Czy ktoś może skontrolować moje rozwiązanie?

Zadanie:
Pokazać, że przestrzeń wektorowa \(\displaystyle{ l_2}\) jest przestrzenią unitarną z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ l_2}\) - przestrzeń ciągów sumowalnych z 2-gą potęgą takich że: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left| x(n)\right| ^{2}}\).
Przestrzeń \(\displaystyle{ l_2}\) jest przestrzenią unitarną jeśli posiada zdefiniowaną funkcję iloczynu skalarnego. Sprawdzimy więc kolejne warunki:

1. \(\displaystyle{ \forall x(n), y(n) \in l_2 \left\langle x(n), y(n)\right\rangle = \left\langle y(n), x(n)\right\rangle}\) :
\(\displaystyle{ \left\langle x(n), y(n)\right\rangle = \sum_{n=1}^{\infy}x(n) \cdot y(n) = \sum_{n=1}^{\infy}y(n) \cdot x(n) = \left\langle y(n), x(n)\right\rangle}\)

To samo robię dla reszty właściwości iloczynu skalarnego. Czy to wystarczy, czy muszę coś jeszcze wykazać?

[szw1710]

Tak, w dobrą stronę zmierzasz. Nie napisałeś, na początku, że szereg kwadratów ma być zbieżny, sam szereg napisałeś.

Ponieważ piszesz o własności symetrii, to mniemam, że masz rzeczywistą przestrzeń \(\displaystyle{ \ell_2}\).

[cypher08]

Racja. Warunek jaki napisałem miał mówić, że ciąg jest zbieżny czyli: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left| x(n)\right| ^{2} < \infty}\)

Co do drugiej uwagi to nie wiem czy mam rzeczywistą przestrzeń \(\displaystyle{ l_2}\). Nie ma tego w treści zadania. Ma to jakieś implikacje dla mojego rozwiązania? Byłoby inaczej gdybym udawadniał przestrzeń liczb zespolonych?

[szw1710]

Zupełnie inaczej. Inne są aksjomaty iloczynu skalarnego związane z symetrią:

\(\displaystyle{ \langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}}\)

[cypher08]

Dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Nie ma sprawy. Jeszcze jedna uwaga: nie przestrzeń liczb zespolonych, tylko przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ \ell_2}\) nad ciałem liczb zespolonych. Zawsze przestrzeń liniowa jest nad jakimś ciałem. W analizie funkcjonalnej rozważa się albo ciało liczb rzeczywistych, albo ciało liczb zespolonych. Przestrzeń rzeczywista - przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych. Zespolona - podobnie.

W Twoim zadaniu domyślnie jest przestrzeń rzeczywista. Zapewne o zespolonych nie mówiliście. Spójrz jakie aksjomaty iloczynu skalarnego były na wykładzie. Jeśli tylko symetria - to obowiązkowo mamy przestrzeń rzeczywistą.