Znaleźc bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej

[kuka1992]

Witam!

Mam problem z zadaniem. Wiem, że trzeba je rozwiązać przy pomocy macierzy tylko do końca nie wiem jak.. Dane są wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\):
\(\displaystyle{ X _{1}}\) = (1,2,1), \(\displaystyle{ X _{2}}\)= (1,2,0), \(\displaystyle{ X _{3}}\) = (0,2,1), \(\displaystyle{ X _{4}}\) = (0,2,0)
\(\displaystyle{ Y _{1}}\) = (1,2,0), \(\displaystyle{ Y _{2}}\) = (1,2,1), \(\displaystyle{ Y _{3}}\) = (1,3,1), \(\displaystyle{ Y _{4}}\) = (1,3,2)

a) Znaleźć bazę i wymiar podprzestrzeni liniowej Lin(\(\displaystyle{ X _{1}}\), \(\displaystyle{ X _{2}}\), \(\displaystyle{ X _{3}}\), \(\displaystyle{ X _{4}}\))
b) Czy istnieje takie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \alpha : R ^{3} \rightarrow R ^{3}}\), że \(\displaystyle{ \alpha (X _{i}) = Y _{i}}\) dla każdego i \(\displaystyle{ \in \left\{ 1,2,3,4\right\}}\) ?

Wiem, że obliczając rząd macierzy złożonej z wektorów mogę sprawdzić, czy są lnz, ale czy to tu jest potrzebne? Nie wiem jak mam znaleźć bazę tej podprzestrzeni

[chris_f]

Tu nie masz co sprawdzać czy są liniowo niezależne - bo na pewno nie będą, jest ich cztery, a w przestrzeni trójwymiarowej nie może być tylu niezależnych.
Bazę znajdziesz wybierając maksymalną możliwą liczbę wektorów niezależnych - zatem musisz spróbować znaleźć trzy spośród tych czterech liniowo niezależne i to one będą tworzyć bazę, jak się nie uda to próbujesz znaleźć dwa itd.

[kuka1992]

Czyli jeśli utworzyłem sobie macierz z tych wektorów \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&2&0\\0&2&1\\0&2&0\end{array}\right]}\) to wychodzi, że rząd tej macierzy jest równy 3. Czy wynika z tego, że 3 z pośród nich będą liniowo niezależne i będą tworzyć bazę?

[chris_f]

Jeżeli policzyłeś, że rząd jest równy trzy, to znaczy, że znalazłeś niezerowy minor 3x3 (złożony z trzech wektorów), skoro tak to już masz bazę.

[kuka1992]

Dzięki to już rozumiem:) A co do podpunktu b) to muszę to rozpisać tak?:
\(\displaystyle{ \alpha ((1,2,1)) = (1,2,0)}\)
\(\displaystyle{ \alpha ((1,2,0)) = (1,2,1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha ((0,2,1)) = (1,3,1)}\)
\(\displaystyle{ \alpha ((0,2,0)) = (1,3,2)}\)
i potem np.:
\(\displaystyle{ \alpha ((1,2,0)+(0,2,1)-(0,2,0)) = \alpha (1,2,0) + \alpha (0,2,1) - \alpha (0,2,0) = (1,2,1)+(1,3,1)-(1,3,2) = (1,2,0)}\), a to jest równe \(\displaystyle{ \alpha ((1,2,1)) = (1,2,0)}\), więc chyba to dowodzi, że to jest przekształcenie liniowe, ale w pytaniu jest czy istnieje takie przekształcenie liniowe dla każdego i. Czy to co policzyłem jest odpowiedzią na pytanie, czy nie?