Przekształcenie ortogonalne X = QY

[sshadow]

Oto moje zadanie. Macierz formy kwadratowej jest następująca:
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 0 \end{array}\right]}\)
oraz wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ w(\lambda) = -(\lambda-1)^{2}(\lambda+2)}\)
i z tego wyznaczam trzy, przykładowe wektory własne
\(\displaystyle{ a _{1} = [1, 1, 0]}\) dla λ = 1,
\(\displaystyle{ a _{2} = [1, -1, 2]}\) dla λ = 1 i prostopadły do \(\displaystyle{ a _{1}}\)
\(\displaystyle{ a _{3} = [1, -1, -1]}\)
Teraz moją formę kwadratową \(\displaystyle{ X ^{T}AX}\) mogę sprowadzić przez przekształcenie ortogonalne X = QY do postaci kanonicznej. Wiem, że Q jest macierzą, której kolumny stanowią zbiór ortogonalnych wektorów własnych macierzy A. Dlaczego zatem
\(\displaystyle{ Q = \left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{ \sqrt{2}} & \frac{1}{ \sqrt{6}} & \frac{1}{ \sqrt{3}} \\
\frac{1}{ \sqrt{2}} & -\frac{1}{ \sqrt{6}} & -\frac{1}{ \sqrt{3}} \\
0 & \frac{2}{ \sqrt{6}} & -\frac{1}{ \sqrt{3}}\end{array}\right]}\)
nie rozumiem skąd takie wyniki w macierzy Q. Jak to się liczy? Mógłby mi to ktoś pokazać krok po kroku?

[norwimaj]

Macierz ortogonalna ma w kolumnach ortonormalny układ wektorów, czyli wektory mają być nie tylko parami ortogonalne, ale jeszcze każdy z nich ma mieć długość \(\displaystyle{ 1}\). Odpowiednio przeskalowując wektory \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3}\) otrzymasz właściwą macierz.

[sshadow]

Nie do końca takiej odpowiedzi się spodziewałem, ale trochę mnie naprowadziłeś. Przeszukując fora znalazłem w końcu wyjaśnienie.