przestrzeń wektorowa nad ciałem rzeczywistych

[kkk]

Witam! Nie wiem jak sprawdzić kilka przestrzeni wektorowych. Zacznijmy od tego:

Sprawdzić, czy struktura algebraiczna \(\displaystyle{ (X, +, \cdot )}\) jest przestrzenią wektorową nad R, jeżeli: \(\displaystyle{ X = \{f: R \rightarrow R: f(-1) = f(1) = 0 \}}\), z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia funkcji przez liczbę.

Z góry dziękuję za pomoc

[szw1710]

Jest, gdyż jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.}\) Aby to sprawdzić, wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ f,g\in X}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ f+g\in X}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha f\in X.}\)

[kkk]

no ja te warunki znam, znam też taki:
\(\displaystyle{ \alpha f + \beta g \in X \\
0 \in X}\)

Tylko nie wiem jak to pozkazać, wykorzystują informację f(-1) = f(1) ?

[szw1710]

To kluczowa sprawa. I nie tylko równość, ale zerowanie się!!! Gdyby np. zażądać \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)=2}\), to nie będzie to podprzestrzeń liniowa, a jedynie zbiór wypukły.

Warunek \(\displaystyle{ 0\in X}\) wynika z obu warunków naraz: jeśli one zachodzą, to dla \(\displaystyle{ f\in X}\) jest\(\displaystyle{ g=-f\in X}\) oraz \(\displaystyle{ f-f=0\in X}\).

[kkk]

chyba rozumiem

Jeżeli mam przestrzeń pokazać dla \(\displaystyle{ X = {f: R \rightarrow R: f \ - \ okresowa}\)

To analogicznie - że jest podprzestrzenią zbioru wszystkich funkcji R -> R ?
Z tym, że muszę założyć, że suma dwóch funkcji o okresie wymiernym jest funkcją okresową?