Suma prosta podprzestrzeni liniowych

[TPB]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią liniową złożoną ze wszystkich funkcji \(\displaystyle{ R \rightarrow R}\), oraz niech \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) będą podprzestrzeniami w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) określonymi wzorami:

\(\displaystyle{ U = \left\{ f \in X: f(-x)=f(x) \right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ V = \left\{ f \in X: f(-x) = -f(x) \right\}}\).

Dowieść, że \(\displaystyle{ X}\) jest sumą prostą podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\).

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania. Z algebry za mocny nie jestem. Dopiero zaczynamy przestrzenie liniowe i nie potrafię jeszcze się w tym do końca odnaleźć.

Zacząłem w ten sposób. Przestrzeń liniowa jest sumą prostą dwóch przestrzeni liniowych wtedy i tylko wtedy, gdy ich przekrój jest zbiorem jednoelementowym równym \(\displaystyle{ 0}\) oraz jest sumą algebraiczną tych przestrzeni.

W naszym przypadku elementem neutralnym dodawania w \(\displaystyle{ X}\) jest funkcja stała, równa zero. Jest to jedyna funkcja, która jest zarazem parzysta jak i nieparzysta. Czyli jest to iloczyn przestrzeni \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ V}\). Czy do tej pory jest dobrze?

Teraz moim zdaniem należy pokazać, że dowolna funkcja \(\displaystyle{ f : R \rightarrow R}\) może zostać przedstawiona jako kombinacja liniowa funkcji parzystych oraz nieparzystych. Ale nie wiem od czego zacząć dowód tego stwierdzenia. Czy idę dobrym tropem?

Będę wdzięczny za pomoc oraz wskazówki.

Pozdrawiam.

[szw1710]

Piękne zadanie, lubię je!!! Po prostu nie zdawałem sobie sprawy, że na rozkład, który przedstawię, można spojrzeć algebraicznie To bardzo znana rzecz, co więcej, stosowałem go wielokrotnie.

Część parzysta: \(\displaystyle{ f_e(x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}}\)

Część nieparzysta: \(\displaystyle{ f_o(x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ f_e}\) jest funkcją nieparzystą, \(\displaystyle{ f_o}\) jest funkcją parzystą oraz \(\displaystyle{ f=f_e-f_o}\). Istotnie jest to suma prosta na mocy tego, co zauważasz.

[TPB]

Pokaż, że \(\displaystyle{ f_e}\) jest funkcją nieparzystą, \(\displaystyle{ f_o}\) jest funkcją parzystą

Bardzo dziękuję za pomoc, bardzo cenna uwaga. Mam tylko jeszcze jedno małe pytanie. Czy to, co zacytowałem powyżej nie powinno być na odwrót? To znaczy \(\displaystyle{ f_e}\) parzysta i \(\displaystyle{ f_o}\) nieparzysta?

[szw1710]

Ale zauważ, że przecież wg mojej definicji \(\displaystyle{ f_e}\) jest parzysta (even), a \(\displaystyle{ f_o}\) nieparzysta (odd). Oczywiście, lapsus zrobiłem, ale definicje dałem dobre. Modulo coś...
Tak nad ranem o tym myślałem i w istocie powinno byc na odwrót, ale co innego. Ty pytasz o sumę. W przestrzeni liniowej suma czy różnica to wszystko jedno. Ale lepiej część nieparzystą wydefiniować ze zmienionym znakiem. Więc powtórzę:

\(\displaystyle{ f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\;\text{--- parzysta}}\)

\(\displaystyle{ f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\;\text{--- nieparzysta (poprawka)}}\)

\(\displaystyle{ f=f_e+f_o}\)

Tak jest zręczniej.

[TPB]

Już wszystko jasne. Dziękuję.