Zadanie: Niech endomorfizm \(\displaystyle{ \varphi}\):\(\displaystyle{ R^{3}}\)\(\displaystyle{ \to}\)\(\displaystyle{ R^{3}}\) będzie zadany wzorem: \(\displaystyle{ \varphi}\) ((\(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{3}}\))) = (\(\displaystyle{ 2x_{1}}\) - \(\displaystyle{ 2x_{2}}\), \(\displaystyle{ 1x_{1}}\) + \(\displaystyle{ 5x_{2}}\), \(\displaystyle{ 3x_{1}}\) + \(\displaystyle{ 6x_{2}}\) + \(\displaystyle{ 3x_{3}}\))
1. Znaleźć wartości własne endomorfizmu \(\displaystyle{ \varphi}\) i bazy odpowiadających im przestrzeni własnych.
2. Czy istnieje baza przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) złożona z wektorów własnych endomorfizmu \(\displaystyle{ \varphi}\) ? Jeśli tak to podać przykład takiej bazy A i znaleźć \(\displaystyle{ M^{A}_{A}}\) \(\displaystyle{ \varphi}\).
Wartości własne obliczyłem wynoszą następująco: \(\displaystyle{ x_{1}}\) = 3, \(\displaystyle{ x_{2}}\) = 4
teraz zacząłem szukać bazy względem \(\displaystyle{ x_{1}}\) = 3 po uproszczeniu otrzymałem:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&2&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\) czyli, \(\displaystyle{ x_{1}}\) = \(\displaystyle{ -2x_{2}}\)
Teraz moje pytanie w którym lekko się waham jak dokładnie powinna wyglądać baza tj.
czy : V(3) = {(\(\displaystyle{ -2x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{3}}\)) \(\displaystyle{ x_{2}}\) należy do R} wtedy lim= (-2,1,0)
czy: V(3) = {(\(\displaystyle{ -2x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{3}}\)) \(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\) należy do R} wtedy lim = (-2,1,0), (0,0,1)