Witam.
Czy jest ktoś w stanie wytłumaczyć mi na czym polega znajdowanie punktów nieregularnych, w tej metodzie oraz metodzie Lagrange'a.
Np. Dla takiego przykładu:
\(\displaystyle{ min_{\underline{x}} \ \frac{1}{2} x_{1}^{2}-2x _{2}}\)
p.o. \(\displaystyle{ \ x _{1}^{2}+x _{2}^{2} \le 4}\)
\(\displaystyle{ \ x _{1} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \ x _{2} \ge 0}\)
Z tego otrzymujemy macierz gradientów:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2x _{1}&2x _{2} \\1&0\\0&1\end{array}\right]}\)
Wynika z tego, że mogą zajść trzy przypadki: aktywne jest tylko pierwsze ograniczenie, aktywne pierwsze i jedno z pozostałych, oraz żadne nie jest aktywne.
W pierwszym przypadku pierwszy wiersz jest zawsze liniowo niezależny, więc dowolny punkt jest punktem regularnym, podobnie w trzecim przypadku.
A dla przypadku drugiego, jeżeli drugie lub trzecie ograniczenie jest aktywne, oznacza to, że jedna zmienna jest równa zeru (dlaczego?) a druga równa 2 (dlaczego?).
Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0 \\0&1\end{array}\right]}\) , \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&4 \\1&0\end{array}\right]}\)
skąd widać że dowolne rozwiązanie dopuszczalne jest punktem regularnym ograniczeń.
Pytania:
- Co to jest punkt regularny ograniczeń?
- Co oznacza, że macierz jest liniowo niezależna?
- Skąd się wzięło to, że x1 lub x2 = 2 ?