wyznacznik macierzy - twierdzenie

[niebieska_biedronka]

Zadanie jest następujące:
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc}1&x_1&x_1^2&x_1^3\\1&x_2&x_2^2&x_2^3\\1&x_3&x_3^2&x_3^3\\1&x_4&x^2_4&x^3_4\end{array}\right| = \prod_{i>j} (x_i -x_j)}\) dla \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2,3,4\}}\), a następnie uogólnić to twierdzenie dla macierzy \(\displaystyle{ A=[a_{ij}]_{n \times n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{ij} = x_i^{j-1}}\).

Pierwszą część potrafię zrobić, ale zupełnie nie wiem jak zabrać się za drugą (czyli uogólnienie twierdzenia)... bardzo proszę o pomoc

[szw1710]

Rozpisz sobie jak wyglądałby taki wyznacznik \(\displaystyle{ 3\times 3}\), spróbuj dostrzec związki z wyznacznikiem Vandermonde'a (tak się ten pierwszy nazywa).

[niebieska_biedronka]

No właśnie nawet z rozpisaniem mam problem... Dla uogólnionego przypadku \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2,...,n\}}\) ? Czy taki wyznacznik 3x3 to nie będzie tak jakby minor macierzy z tego konkretnego przypadku (tzn nie będzie 4 wiersza i 4 kolumny, a reszta będzie taka sama)?

[szw1710]

Jeśli nie za bardzo się wie jak się do czegoś zabrać warto polecić studium przypadków szczególnych. O to mi chodziło. Nie o żadne minory, tylko jak to wygląda dla w miarę prostej sytuacji. Jeśli się to zrozumie, można iść dalej. To taka rada naprowadzająca na to jak zrobić zadanie.

A... więc chodzi o zwykły wyznacznik Vandermonda. Jakoś wydawało mi się przez moment, że o trochę inny z nim związany. Ale dokładnie masz podać ogólny wzór na wyznacznik Vandermonde'a. Więc 3x3 juz mamy, nawet 4x4. Dobrze. Więc jakoś spróbuj przejść przez odejmowanie wierszy na przypadej 4x4 znając 3x3.

[niebieska_biedronka]

Zrozumiałam, dlaczego mam zaczynać od prostego przypadku, pytałam tylko czy dobrze mi się wydaje jak on wygląda, dlatego użyłam słowa 'minor' - czyli po prostu wyznacznik powstały po skreśleniu ostatniej kolumny i ostatniego wiersza. Mogłam to ubrać w inne słowa, przepraszam

Jak mam przejść z 3x3 na 4x4 ? Przecież one mają różne wymiary....?

[szw1710]

Aj... nie przepraszaj. Przejście przez dodawanie/odejmowanie wierszy/kolumn i rozwinięcie Laplace'a. A w ogóle to popatrz na wyznacznik Vandermonde'a w podręcznikach algebry liniowej i w Internecie. Wyprowadzenie powinno być. W każdym razie nie stosuje się niczego innego jak własności wyznaczników.

Ja bym tak zrobił: rozwinięcie Laplace'a wg ostatniego wiersza.

Niech \(\displaystyle{ V(x_1,\dots,x_n)}\) oznacza wyznacznik Vandermonde'a liczb \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\). Teraz mamy

\(\displaystyle{ V(a,b,c,d)=-aV(b,c,d)+bV(a,c,d)-cV(a,b,d)+dV(a,b,c)\,,}\)

a wyznaczniki Vandermonde'a 3x3 powiedzmy że umiesz liczyć. Tak móglby wyglądac ogólny krok indukcyjny.

[norwimaj]

Ja tu widzę taki sposób. Pierwszy wiersz odejmujemy od każdego innego wiersza. Wtedy otrzymujemy w pierwszej kolumnie jedną jedynkę i potem same zera i możemy zrobić rozwinięcie Laplace'a względem tej kolumny. Dostajemy do policzenia wyznacznik mniejszej macierzy. Z każdego wiersza da się wyłączyć czynnik \(\displaystyle{ x_i-x_1}\). Następnie poprzez operacje na kolumnach sprowadzamy problem do policzenia wyznacznika Vandermonde'a macierzy \(\displaystyle{ (n-1)\times(n-1)}\).

[szw1710]

Też o tym myślałem, ale się zaciąłem gdzieś po drodze.

[niebieska_biedronka]

ale dlaczego akurat od \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)? tzn, dlaczego bierzemy aż 4 zmienne? i co będzie tu założeniem, a co tezą? :S

próbowałam to zrobić z indukcji "po swojemu", tzn sprawdziłam że \(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc} 1&x_1\\1&x_2\end{array}\right| = x_2 - x_1}\), potem napisałam że
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccccc} 1&x_1&x_1^2&...&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&...&x_2^{n-1}\\...\\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&...&x_{n-1}^{n-1}\\ 1&x_n&x_n^2&...&x_n^{n-1}\end{array}\right| = \prod_{i>j} (x_i-x_j)}\) dla \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2,...,n\}}\)
i chciałam udowodnić to dla \(\displaystyle{ n+1}\) ale po rozpisaniu tego wyznacznika nie umiem tak tego przekształcić, żeby skorzystać z założenia.

norwimaj, dokładnie tak została udowodniona pierwsza część zadania (tyle że na tym właśnie konkretnym przypadku)

[szw1710]

4 zmienne bo wydawało mi się, że chcesz zobaczyć mechanizm. Oczywiście celem jest dowolna liczba zmiennych. Pokombinuj. Sposób, w jaki się wypowiadasz, sugeruje, że orientujesz się w temacie tylko gdzieś się zacinasz w rachunkach. Wskazówka norwimaja jest dobra.

[niebieska_biedronka]

skapitulowałam, rozpisałam to do momentu wyłączenia przed wyznacznik \(\displaystyle{ x_i-x_1}\), i dalej już się zacięłam, próbowałam coś z tymi kolumnami ale nie udało się.... :/

[szw1710]

To poszukaj w podręcznikach.

[niebieska_biedronka]

w każdym razie, dziękuję za pomoc

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & x_1+x_2 & x_1^2+x_1x_2+x_2^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_2^{n-2} \\
1 & x_1+x_3 & x_1^2+x_1x_3+x_3^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_3^{n-2} \\
1 & x_1+x_4 & x_1^2+x_1x_4+x_4^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_4^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_1+x_n & x_1^2+x_1x_n+x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_n^{n-2}
\end{vmatrix}}\)

Najpierw możemy
- od drugiej kolumny odjąć pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ x_1}\),
- od trzeciej kolumny odjąć pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ x_1^2}\),
- ....
- od ostatniej kolumny odjąć pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ x_1^{n-2}}\).

Po tym wszystkim mamy już drugą kolumnę taką jak trzeba.

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_1x_2+x_2^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_2+\ldots+x_2^{n-2} \\
1 & x_3 & x_1x_3+x_3^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_3+\ldots+x_3^{n-2} \\
1 & x_4 & x_1x_4+x_4^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_4+\ldots+x_4^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_1x_n+x_n^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_n+\ldots+x_n^{n-2}
\end{vmatrix}}\)

W następnym kroku od kolumny trzeciej, czwartej itd. odejmujemy kolumnę drugą mnożoną przez \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_1^2}\), itd.

[niebieska_biedronka]

aaaaa no to teraz rozumiem takie to proste, a jednak nie wpadłabym sama na to... dziękuję!