rząd iloczynu macierzy

[niebieska_biedronka]

Witam,
Staram zmierzyć się z takim zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ B = \left[ \begin{array}{cccc}2&-1&1&3\\-1&0&1&0\\0&2&-1&1\\3&4&-2&2\end{array} \right]}\) . Wyznaczyć rząd macierzy \(\displaystyle{ C=B*(3B^T)}\).

Wyznaczyłam \(\displaystyle{ r(B) = 4}\), wiem także że transponowanie macierzy i mnożenie jej przez skalar nie zmienia jej rzędu. Z własności rzędu wiem, że \(\displaystyle{ r(A*B) \le \min\{ r(A), r(B) \}}\), stąd \(\displaystyle{ r(C) \le 4}\). To jednak nie jest jednoznaczny wynik... Jak dalej sobie z tym poradzić?

I jeszcze jedno... Niech macierz \(\displaystyle{ B= \left[ \begin{array}{ccc}-1&2&4\\9&-10&-10\\3&-2&1\end{array} \right]}\). Wyznaczyć rząd macierzy A, jeśli wiadomo że \(\displaystyle{ r(B) < r(B^T * A^2) + \det A < \frac{\sqrt{3} \pi}{2}}\).
Mam \(\displaystyle{ r(B) = 2, \frac{\sqrt{3} \pi}{2} \approx 2,72}\), a \(\displaystyle{ r(B^T * A^2)}\) znajduje się pomiędzy tymi liczbami i jednocześnie musi być liczbą naturalną, stąd \(\displaystyle{ \det A}\) jest niezerowy. Tyle wywnioskowałam, dalej już nie wiem...

[BettyBoo]

Ad 1: \(\displaystyle{ r(B)=4\ \Longleftrightarrow\ \det B\neq 0\ \Longleftrightarrow\ B}\) jest odwracalna.

Ad 2 A co wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \det A\neq 0}\)?

Pozdrawiam.

[niebieska_biedronka]

ad. 1 Zgadza się, i co z tym faktem mam zrobić?
ad.2 To oznacza, że rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy/kolumn tej macierzy. Ale ja nie wiem, jaki ona ma wymiar...

[BettyBoo]

ad 1 w świetle tego, co wyżej, co powiesz o odwracalności \(\displaystyle{ 3B^T}\) oraz \(\displaystyle{ C}\)?
ad 2 a właśnie, że wiesz - to wynika z treści zadania. Przyjrzyj się.

Pozdrawiam.

[niebieska_biedronka]

ad. 1 \(\displaystyle{ 3B^T}\) na pewno jest odwracalna, \(\displaystyle{ C}\) zapewne też, bo z tego wynikałoby że \(\displaystyle{ \det C \neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ r(C) = 4}\). I koniec zadania czyli iloczyn dwóch odwracalnych macierzy jest macierzą odwracalną, tak?
ad.2 No tak, obie są kwadratowe, czyli \(\displaystyle{ r(A) = 3}\) ?

[BettyBoo]

iloczyn dwóch odwracalnych macierzy jest macierzą odwracalną, tak?

Tak (zapewne znasz wzór na macierz odwrotną do iloczynu macierzy?) - i to DLATEGO \(\displaystyle{ C}\) jest odwracalna. Zapisując rozwiązanie musisz uważać na takie szczegóły.

\(\displaystyle{ r(A) = 3}\)

Ano.

Pozdrawiam.

[niebieska_biedronka]

Serdecznie dziękuję!