Podprzestrzeń liniowa

wojtek1492 · Post autor: **wojtek1492** » 12 gru 2011, o 22:41

Moglibyscie wytlumaczyć łopatologicznie jak sprawdzić czy
\(\displaystyle{ U=\left\{ \left( x,y\right) \in R:4x ^{2} -4xy+y ^{2} =0 \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R ^{2}}\)

Z góry dzięki.

miki999 · Post autor: **miki999** » 12 gru 2011, o 22:48

Proponuję sprawdzić warunki na bycie podprzestrzenią
Znasz takowe?

wojtek1492 · Post autor: **wojtek1492** » 12 gru 2011, o 22:55

niestety u nas nie ma teorii, sama praktyka której nikt nie rozumie... więc móglbys mi podesłać linka z warunkami lub je wypisac?

miki999 · Post autor: **miki999** » 12 gru 2011, o 23:06

No bo teoria jest na wykładzie, a na ćwiczeniach praktyka.
Proszę bardzo:

wojtek1492 · Post autor: **wojtek1492** » 13 gru 2011, o 18:54

Dobrze, więc warunki juz znam ale zadania dalej ruszyć nie potrafie..

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 gru 2011, o 19:40

Masz podany 1. warunek. Jak on brzmi (słowami nie symbolami)?

wojtek1492 · Post autor: **wojtek1492** » 13 gru 2011, o 19:45

Każdy element ze zbioru X pomnożony przez dowolny skalar zawiera się w tym zbiorze?

miki999 · Post autor: **miki999** » 13 gru 2011, o 19:51

Raczej: należy do tego zbioru.

No to do dzieła. Proponuję poszukać kontrprzykładu, czyli takiego (konkretnego) elementu i (konkretnego) skalara, że warunek nie jest spełniony.

DawidG3 · Post autor: **DawidG3** » 26 sty 2012, o 20:28

Pozwolę sobie dokończyć zadanie.

Aby zbiór \(\displaystyle{ U}\) należał do przestrzeni liniowej w \(\displaystyle{ R^{3}}\) musi spełniać warunek \(\displaystyle{ U=\left\{ \left( x,y\right) \in R:4x ^{2} -4xy+y ^{2} =0 \right\}}\).

Podaję kontrprzykład:
\(\displaystyle{ x=-5, y=5}\)

Podstawiam do wzoru i otrzymuję wynik \(\displaystyle{ 175, 175 \neq 0}\), więc warunek nie jest spełniony. Więc zbiór \(\displaystyle{ U}\) nie jest podprzestrzenią liniową.

Zgadza się?

miki999 · Post autor: **miki999** » 26 sty 2012, o 20:49

musi spełniać warunek

A gdzie ten warunek? To jest definicja zbioru \(\displaystyle{ U}\), więc to jest z założenia prawdziwe.

Zgadza się?

Niestety nie. Podałeś jedynie przykład pary nienależącej do \(\displaystyle{ U}\). Jednak o niczym to nie świadczy.

DawidG3 · Post autor: **DawidG3** » 26 sty 2012, o 21:30

Warunek jest taki, że \(\displaystyle{ \forall a, b\in W \ \ a-b \in W}\)
A skoro dla każdego, to dla każdego. Jako że dla \(\displaystyle{ a=-5 \ \ b=5}\) warunek jest niespełniony, to \(\displaystyle{ U}\) nie należy do \(\displaystyle{ V}\).

miki999 · Post autor: **miki999** » 26 sty 2012, o 21:34

Dla każdych dwóch elementów przestrzeni \(\displaystyle{ U}\). \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) nie są elementami \(\displaystyle{ U}\).