Rząd macierzy z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: rudy20 »

Polecenie brzmi 'wyznacz rzad macierzy w zaleznosci od parametru \(\displaystyle{ a}\)':

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc} 1&a&-1&2\\2&-1&a&5\\1&10&-6&1\end{array}\right)}\)

W ogole nie wiem jak takie zadania robic a nigdzie nie moge znalezc tego wytlumaczonego. Umiem liczyc rzad bez problemu jesli nie ma parametru natomiast kiedy pojawia sie parametr to staje sie to dla mnie niewykonalne. W odpowiedziach wynik jest ladny a mi wychodza glupoty.

Bardzo prosilbym o wytlumaczenie w jaki sposob nalezy rozwiazywac tego typu zadania. Wiem ze sa 2 sposoby, jeden sprowadzajac do postaci schodkowej a drugi cos z minorami. Kiedy oplaca sie uzywac pierwszego a kiedy drugiego? Na co powinienem patrzyc? Jaki jest schemat/algorytm/sposob?

Bylbym nieslychanie wdzieczny jesli ktos moglby mi to raz na zawsze wytlumaczyc, bo tak to wszystko z tego przedmiotu rozumiem ale tutaj mam jakas mentalna blokade.
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: miki999 »

Wiem ze sa 2 sposoby, jeden sprowadzajac do postaci schodkowej
I ten proponuję użyć.
Kiedy oplaca sie uzywac pierwszego a kiedy drugiego?
Na ogół korzystniejszy jest pierwszy. Drugiego można użyć, jakby np. była macierz \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), bo wtedy sprawdzenie czy rząd jest równy \(\displaystyle{ 3}\) sprowadza się do obliczenia wyznacznika (a jeżeli jest zerowy, to wyznaczenie niezerowego minora \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) jest trywialne).
rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: rudy20 »

miki999 pisze:
Wiem ze sa 2 sposoby, jeden sprowadzajac do postaci schodkowej
I ten proponuję użyć.
Kiedy oplaca sie uzywac pierwszego a kiedy drugiego?
Na ogół korzystniejszy jest pierwszy. Drugiego można użyć, jakby np. była macierz \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), bo wtedy sprawdzenie czy rząd jest równy \(\displaystyle{ 3}\) sprowadza się do obliczenia wyznacznika (a jeżeli jest zerowy, to wyznaczenie niezerowego minora \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) jest trywialne).
Ok, dzieki, tak tez mi sie wydawalo. Czyli niech bedzie postac schodkowa. Tylko teraz wlasnie jest problem bo po zamianie pierwszego wiersza z trzecim wyzerowaniu sobie pierwszej kolumny pojawiaja sie nieciekawe rzeczy, tzn parametr zaczyna bardzo przeszkadzac, poza tym jak wyzerowac stala przy uzyciu parametru? Przeciez wtedy trzeba odejmowac cos pomnozone przez inne cos gdzie w mianowniku pojawia sie parametr i co z czyms takim? Czy tego da sie uniknac?
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: miki999 »

Można np. po założeniu, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) dodawać wiersz/kolumnę podzieloną przez \(\displaystyle{ a}\).

Chociaż, może tutaj spróbować z minorami....
Czyli wziąć macierz składającą się z 1. i ostatniej kolumny, a następnie rozpatrzeć 2 przypadki z dołączoną drugą lub 3. kolumną. Chociaż może zajść ryzyko, że ten sposób niewiele da.
rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: rudy20 »

Ok tutaj tak sie faktycznie da. Czyli jednak metoda schodkowa tutaj sie nie sprawdzila. Ale co jesli w kazdej albo prawie kazdej kolumnie bylby parametr a tym samym wyznaczniki bylyby (realistycznie) nie do obliczenia? Np:

\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccc} 2-a&2&-1&2\\2&4-a&1&1\\1&2&6-a&2\end{array}\right)}\)

Zadanie oryginalnie odnosi sie do sprawdzenia kiedy uklad rownan ma rozwiazania, tzn kiedy rzad tej 3x3 jest rowny tej 3x4. Metoda wyznacznikowa w tym wypadku to jakas totalna rozpacz a ze schodkowa nie jest tez za wesolo! Co tu robic?

Bylbym takze bardzo wdzieczny za linki do materialow w ktorych cos takiego jest omowione na przykladach. Wszedzie gdzie patrze to przyklady sa bez parametru a to jest niespecjalnie przydatne
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: miki999 »

Ok tutaj tak sie faktycznie da.
Nie chwal dnia przed zachodem słońca
Ale co jesli w kazdej albo prawie kazdej kolumnie bylby parametr a tym samym wyznaczniki bylyby (realistycznie) nie do obliczenia?
Czasem trzeba wykorzystać intuicję. Na ogół nie daje się przykładów, gdzie występuje większy stopień skomplikowania. A jeżeli się daje, tzn., że istnieje jakiś nietypowy sposób by się z tą macierzą rozprawić.

Zadanie oryginalnie odnosi sie do sprawdzenia kiedy uklad rownan ma rozwiazania, tzn kiedy rzad tej 3x3 jest rowny tej 3x4.
No to problem sprowadza się do wyznaczenia rzędu \(\displaystyle{ 3 \times 3}\).
rudy20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 10 wrz 2011, o 16:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Inowrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: rudy20 »

znalazlem cos takiego

... arametrem/

autor powoluje sie na nieznany mi sposob obliczania rzedu macierzy, a nigdzie w internecie ani na tej stronie nie moge znalezc dokladnie na czym on polega. czy ktos tutaj moze wie o co chodzi? cos z wykreslaniem rzedow/kolumn i dodawaniu za kazdym razem 1? czy to sie jakos nazywa? bo wyglada to bardzo fajnie.
Awatar użytkownika
miki999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Rząd macierzy z parametrem

Post autor: miki999 »

Chyba nie ma to żadnej nazwy. Zasada ta jest dosyć popularna. Zawsze wydawała mi się ona dosyć oczywista. Na pewien sposób analogiczna do rozwinięcia Laplace' a.
ODPOWIEDZ