Wyznacznik macierzy 4x4

[drjudym44]

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc} -1&2&3&0\\2&1&0&1\\0&5&6&1\\-2&-1&1&1\end{array}\right|}\)

dodaję 2 wiersz do 4 i otrzymuję

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}-1&2&3&0\\2&1&0&1\\0&5&6&1\\0&0&1&2\end{array}\right|}\)

następniem gaussem obliczam wyznacznik

\(\displaystyle{ 2 \cdot (-1)^{8} \cdot (24-24)+1 \cdot (-1)^{7} \cdot \left[ (-1)-(-5+4)\right] =2 \cdot 0+(-1) \cdot 0=0}\)

czy to jest dobry wynik?

dziękuję za pomoc. pozdrawiam

[Qń]

Wynik jest prawidłowy, można było jednak otrzymać go prościej - w drugiej macierzy można dodać pierwszy wiersz dwa razy do drugiego, wówczas drugi i trzeci wiersz będą identyczne, co wystarcza do stwierdzenia, że wyznacznik jest zerowy.

Q.

[drjudym44]

gdy dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne, to oznacza że wyznacznik jest zerowy? dobrze wiedzieć !

czy trzeba na początku się zdecydować, czy działamy na kolumnach czy na wierszach? czy można na obydwu? przykładowo dodać drugi wiersz do trzeciego i 2 kolumnę, pomnożoną przez -1 dodać do 4 kolumny (to przykład wziety z powietrza - nie sugeruj się nim względem tego przykladu). nie można tak prawda?

[Qń]

Licząc wyznacznik można działać zarówno na wierszach, jak i kolumnach, i nie trzeba się decydować na tylko jedną z tych opcji. Należy jednak pamiętać, że zamiana miejscami wierszy (kolumn) oraz mnożenie wiersza (kolumny) przez niezerową liczbę zmienia wartość wyznacznika (można nad tym zapanować, ale to tylko niepotrzebna komplikacja).

Natomiast jeśli dwa wiersze są identyczne, to jeden można wyzerować, a następnie rozwinąć Laplace'm względem tego zerowego - widać stąd, że wyznacznik musi być wtedy zerowy.

Q.

[drjudym44]

zamiana miejscami wierszy (kolumn) oraz mnożenie wiersza (kolumny) przez niezerową liczbę zmienia wartość wyznacznika (można nad tym zapanować, ale to tylko niepotrzebna komplikacja).

mnożenie przez (-1) jakiejś kolumny i dodanie do innej powoduję zmianę wartości wyznacznika? dobrze zrozumialem?

[Qń]

Nie, dodać i odjąć wielokrotność jednego wiersza od innego możesz bez zmiany wyznacznika. Wyznacznik się zmienia gdy na przykład wiersz o wyrazach \(\displaystyle{ 2,6,4}\) podzielisz przez dwa i zastąpisz go wierszem \(\displaystyle{ 1,3,2}\). Takie dzielenie w tym wypadku zmniejsza wartość wyznacznika \(\displaystyle{ 2^3=8}\) razy.

Q.

[drjudym44]

rozumiem. dziękuję za sprawdzenie i przekazanie paru dobrych informacji !