zbadaj liniową niezależność

[konrad18m]

wektory \(\displaystyle{ \vec{u} \vec{v} \vec{w} \vec{x}}\) sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej V. Zbadaj liniowa niezależność wektorów \(\displaystyle{ \vec{a} \vec{b} \vec{c} \vec{d}}\)

\(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{u} , \vec{b} = \vec{u} + \vec{v} , \vec{c} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} , \vec{d} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} + \vec{x}}\)


czy mógłbym prosić o instrukcję? Dzięki.

[miki999]

Klasyk. Są niezależne. Dowód nie wprost.

[konrad18m]

a czy mogłbys mi pomóc dojść do tego samemu?

[miki999]

Oczywiście.
Na początek (a poniekąd i koniec zarazem) polecam skorzystać z definicji liniowej niezależności

[konrad18m]

chodzi o \(\displaystyle{ a\left( \vec{u} \right) +b\left( \vec{u} + \vec{v} \right) +c\left( \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} \right) +d\left( \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} + \vec{x} \right) =0}\) ?

[miki999]

Mały konflikt oznaczeń. :/

[konrad18m]

no rzeczywiście, ale myślenie dobre, prawda? I co dalej?:)

[miki999]

Tak, dobre. Dalej uporządkuj to, abyś miał \(\displaystyle{ \text{coś} \cdot \vec{u}+...}\)

[konrad18m]

\(\displaystyle{ (k+l+m+n) \vec{u} + (l+m+n) \vec{v} +(m+n) \vec{w} + n \vec{x}}\) i co dalej?

[miki999]

I to oczywiście \(\displaystyle{ =0}\).

No i teraz zabawa:
Aby ten układ był zależny musiałoby zachodzić \(\displaystyle{ (k+l+m+n) \vec{u} + (l+m+n) \vec{v} +(m+n) \vec{w} + n \vec{x}=0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,\ l,\ m,\ n \neq 0}\) (tzn chociaz jeden z nich musiałby być niezerowy).
Niech \(\displaystyle{ k+l+m+n=\alpha,\ l+m+n=\beta,\ m+n=\gamma}\), wtedy ...

[konrad18m]

wtedy.. nie wiem. kurde...

[miki999]

Wtedy kurde:
\(\displaystyle{ \alpha \vec{u} + \beta \vec{v} +\gamma \vec{w} + n \vec{x}=0}\)
ale...

[konrad18m]

wnioskuje, ze lewa strona równa jest zero skoro Twoj drugi post mówi, ze niezależne ale... na ale nie wiem co odpowiedziec...