Szukanie bazy, wektory, macierze

[rafal92909]

Witam wszystkich mam pewne problemy z kilkoma zadaniami które robiliśmy na ćwiczeniach z baz i wektorów a nie do końca znalazłem odpowiedzi na moje pytania. A mianowicie

Dana jest orzestrzeń liniowa w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) rozpięta na wektorach
\(\displaystyle{ \vec{ v_{1} }= \left[1, -1, 2, 3 \right] \vec{ v_{2} }= \left[3, 2, -1, -2 \right] \vec{ v_{3} }= \left[7, 3, 0, -1 \right] \vec{ v_{4} }= \left[18, 7, 1, -1 \right]}\)

1. Określ wymiar podprzestrzeni.
-Czyli te 4 podane wektory "ustawiam w macierz" i licze jej rzad. Po przekszałceniach otrzymuje macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\) Czyli jej rząd wynosi 2, czyli wymiar tej podprzestrzeni jest 2. Zgadza się?

2. Znajdź bazę.
- Czy baza to są te 2 wektory niezależne? W jaki sposób powinienem wyznaczyć bazę?

3. Czy Znajdź współrzędne wektorów niebazowych.
- Niestety nie wiem jak to ruszyć. Prosiłbym o pomoc.

4. Sprawdź czy wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = \left[7, -2, 7, 19 \right]}\) należy do tej podprzestrzeni
-Zapisuje wektory pokolei jako kolumny, jako ostatni zapisuje wektor v oddzielony kreską i licze układ równan. Jeżeli wyjdzie sprzeczność to nie należy w przeciwnym wypadku należy. Zgadza się?

Bardzo proszę o odpowiedzi na moje pytania. Pozdrawiam

[octahedron]

1)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&-1&2&3\\3&2&-1&-2\\7&3&0&-1\\18&7&1&-1\end{vmatrix}\ w_2-3w_1,\ w_3-7w_1,\ w_4-18w_1 \\\\
\begin{vmatrix}1&-1&2&3\\0&5&-7&-11\\0&10&-14&-22\\0&25&-35&-55\end{vmatrix}\ w_3-2w_2,\ w_4-5w_2\\\\
\begin{vmatrix}1&-1&2&3\\0&5&-7&-11\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{vmatrix}}\)

czyli tylko dwa wiersze są liniowo niezależne, zatem wymiar przestrzeni wynosi \(\displaystyle{ 2}\)

2) Bazą są np. wektory \(\displaystyle{ \vec{u}_1=[1,-1,2,3]}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}_2=[0,5,-7,-11]}\)


3) Mamy \(\displaystyle{ \vec{v}_1=\vec{u}_1}\), czyli pozostałe wektory są są niebazowe, korzystając z obliczeń rzędu macierzy dostajemy:

\(\displaystyle{ \vec{v}_2=3\vec{u}_1+\vec{u}_2 \Rightarrow \vec{v}_2=[3,1]\\
\vec{v}_3=7\vec{u}_1+2\vec{u}_2 \Rightarrow \vec{v}_3=[7,2]\\
\vec{v}_4=18\vec{u}_1+5\vec{u}_2 \Rightarrow \vec{v}_4=[18,5]\\}\)

4) Sprawdzamy, czy istnieją \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) takie, że:

\(\displaystyle{ \alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2=\vec{v}\\
\alpha[1,-1,2,3]+\beta[0,5,-7,-11]=[7,-2,7,19]}\)

czyli Twój sposób jest dobry