Przeksztalcenie liniowe \(\displaystyle{ L : {R^2} \to {R^2}}\)spelniajace nastepujace zaleznosci \(\displaystyle{ L(5,-1)=(10,-2),L(1,-1)=(-2,2).}\)
a) Wyznaczyc macierz L gdy w \(\displaystyle{ {R^2}}\) mamy baze kanoniczna
b) Wyznaczyc; wartosci wlasne i wektory wlasne odwzorowania L.
c) Podac macierz odwzorowania L gdy w \(\displaystyle{ {R^2}}\) mamy baze skladajaca sie z wektorow wlasnych.
z góry dzieki za pomoc
Przekształcenie liniowe
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Przekształcenie liniowe
Ad a.
Macierz \(\displaystyle{ A}\)przeksztalcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach kanonicznych jest nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} 3&5\\-1&-3\end{array}\right]}\)
Dlaczego tak a nie inaczej mozesz sprawdzic w moich postach, w dziale algebra liniowa.
Ad b.
W celu wyznaczenie wartosci wlasnych nalezy rozwiazac rownanie:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\)
W tym celu najpierw obliczamy macierz:
\(\displaystyle{ A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc} 3-\lambda&5\\-1&-3-\lambda\end{array}\right]}\)
Stad:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=\lambda^2-4}\)
Zatem wartosciamy wlasnymi sa:
\(\displaystyle{ \lambda=2 \lambda=-2}\)
Nastepnie obliczamy wektory wlasnie odwzorowania L:
Dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\)
W celu wyznaczenia wektorow wlasnych odwzorowania L, nalezy rozwiazac:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} 1&5\\-1&-5\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right]}\)
Powyzsza rownosc macierzowa jest rownowazna nastepujacymi ukladowi rownan:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+5x_2=0\\-x_1-5x_2=0\end{array}}\)
Jezeli 2 rownanie wymnozymy przez -1, otrzymamy rownanie nr 1.
Zatem w dalszych rozwazaniach, mozemy pominac rownanie nr 2.
Wiec nalezy rozwiazac nastepujaca rownosc:
\(\displaystyle{ x_1+5x_2=0}\)
W tym celu wprowadzimy parametr \(\displaystyle{ x_2=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in R}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x_1=-5t}\)
Czyli rozwiazaniem naszego ukladu rownan jest nastepujaca dwojka:
\(\displaystyle{ (-5t,t)=t(-5,1)}\)
Ponadto wektorem wlasnych dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) jest \(\displaystyle{ (-5,1)}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ \lambDa=-2}\)
Otrzymujemy wektor wlasny postaci \(\displaystyle{ (1,1)}\)
Ad c.
Otrzymane wektory wlasne w podpunkcie b) sa liniowo niezalezne, zatem tworza baze w \(\displaystyle{ R^2}\)
W tym celu wyznaczymy macierz przejscia z bazy kanonicznej do bazy wyznaczonej przez wektory wlasny.
Niech:
\(\displaystyle{ v_1=(-5,1) ,\quad v_2=(1,1)}\) baza \(\displaystyle{ E'}\)powstala z wektorow wlasnych
\(\displaystyle{ e_1=(1,0) ,\quad e_2=(0,1)}\) baza kanoniczna
Ponadto:
\(\displaystyle{ v_1=-5e_1+e_2\\v_2=e_1+e_2}\)
Macierz M przejscia z bazy kanoniczniej do bazy \(\displaystyle{ E'}\)
Jest nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cc} -5&1\\1&1\end{array}\right]}\)
W celu wyznaczenia macierzy C przeksztalcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazie \(\displaystyle{ E'}\), wystarczy obliczyc:
\(\displaystyle{ C=M\cdot A M^{-1}}\)
p.s Zastrzegam sobie prawo do pomylki
Macierz \(\displaystyle{ A}\)przeksztalcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazach kanonicznych jest nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc} 3&5\\-1&-3\end{array}\right]}\)
Dlaczego tak a nie inaczej mozesz sprawdzic w moich postach, w dziale algebra liniowa.
Ad b.
W celu wyznaczenie wartosci wlasnych nalezy rozwiazac rownanie:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\)
W tym celu najpierw obliczamy macierz:
\(\displaystyle{ A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc} 3-\lambda&5\\-1&-3-\lambda\end{array}\right]}\)
Stad:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=\lambda^2-4}\)
Zatem wartosciamy wlasnymi sa:
\(\displaystyle{ \lambda=2 \lambda=-2}\)
Nastepnie obliczamy wektory wlasnie odwzorowania L:
Dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\)
W celu wyznaczenia wektorow wlasnych odwzorowania L, nalezy rozwiazac:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} 1&5\\-1&-5\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right]}\)
Powyzsza rownosc macierzowa jest rownowazna nastepujacymi ukladowi rownan:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+5x_2=0\\-x_1-5x_2=0\end{array}}\)
Jezeli 2 rownanie wymnozymy przez -1, otrzymamy rownanie nr 1.
Zatem w dalszych rozwazaniach, mozemy pominac rownanie nr 2.
Wiec nalezy rozwiazac nastepujaca rownosc:
\(\displaystyle{ x_1+5x_2=0}\)
W tym celu wprowadzimy parametr \(\displaystyle{ x_2=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in R}\)
Stad:
\(\displaystyle{ x_1=-5t}\)
Czyli rozwiazaniem naszego ukladu rownan jest nastepujaca dwojka:
\(\displaystyle{ (-5t,t)=t(-5,1)}\)
Ponadto wektorem wlasnych dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\) jest \(\displaystyle{ (-5,1)}\)
Analogicznie dla \(\displaystyle{ \lambDa=-2}\)
Otrzymujemy wektor wlasny postaci \(\displaystyle{ (1,1)}\)
Ad c.
Otrzymane wektory wlasne w podpunkcie b) sa liniowo niezalezne, zatem tworza baze w \(\displaystyle{ R^2}\)
W tym celu wyznaczymy macierz przejscia z bazy kanonicznej do bazy wyznaczonej przez wektory wlasny.
Niech:
\(\displaystyle{ v_1=(-5,1) ,\quad v_2=(1,1)}\) baza \(\displaystyle{ E'}\)powstala z wektorow wlasnych
\(\displaystyle{ e_1=(1,0) ,\quad e_2=(0,1)}\) baza kanoniczna
Ponadto:
\(\displaystyle{ v_1=-5e_1+e_2\\v_2=e_1+e_2}\)
Macierz M przejscia z bazy kanoniczniej do bazy \(\displaystyle{ E'}\)
Jest nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{cc} -5&1\\1&1\end{array}\right]}\)
W celu wyznaczenia macierzy C przeksztalcenia \(\displaystyle{ L}\) w bazie \(\displaystyle{ E'}\), wystarczy obliczyc:
\(\displaystyle{ C=M\cdot A M^{-1}}\)
p.s Zastrzegam sobie prawo do pomylki