podprzestrzeń - baza

[pawko1234]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&2&3&4\\3&4&5&6\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right]}\)=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
wiedząc że rozwiązania tworzą podprzestrzeń R^4 znajdź bazę tej podprzestrzeni.
hhmmmmmmm....... rozwiązania wydaja się trywialne-same zera. Ale czy same zera mogą tworzyć podprzestrzeń ? A jesli nawet to jak wogóle znaleźć bazę takiej podprzestrzeni? I jak to jest z tymi bazami jak sie ich wogóle szuka. Zna ktos jakiś sprytny algorytm

[kuch2r]

Problem tego zadania sprowadza sie do rozwiazania nastepujacego ukladu rownan:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+b+c+d=0\\a+2b+3c+4d=0\\3a+4b+5c+6d=0\end{array}}\)
Zauwazmy, ze jezeli wymnozymy rownanie nr 1 przez 2 i dodamy do rownania nr 2 dostaniemy rownanie nr 3. Zatem w dalszych rozwazaniach mozemy pominac jedno z nich.
Zatem, zostaje nam do rozwiazania uklad rownan postaci:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+b+c+d=0\\3a+4b+5c+6d=0\end{array}}\)
Uzyskalismy uklad 2 rownan z 4 niewiadomymi.
Podstawmy sobie za zmienne c i d, odpowiednie parametry \(\displaystyle{ c=s,d=t}\) gdzie \(\displaystyle{ s,t R}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+b+s+t=0\\3a+4b+5s+6t=0\end{array}}\)
Rozwiazaniem tego ukladu rownan jest nastepujaca czworka:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=s+2t\\b=-2s-3t\\c=s\\d=t\end{array}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (s+2t,-2s-3t,s,t)=(s,-2s,s,0)+(2t,-3t,0,t)=s(1,-2,1,0)+t(2,-3,0,1)}\)
Rozwiazanie jest uzaleznione od 2 parametrow \(\displaystyle{ s,t}\).
Zatem wymiar podprzestrzeni jest rowny 2, natomiast baze tworza nastepujace wektory:
\(\displaystyle{ (1,-2,1,0),(2-3,0,1)}\)

[pawko1234]

teraz rozumiem. Dzięki wielkie.
a tak z ciekawości to gdyby układzik równań był niejednorodny to postepuje się w ten sam
sposób ?

[kuch2r]

tak