Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

[graber]

Jak w temacie. mam rozwiązane zadanie, tylko nie mogę pojąc jednej rzeczy.

Treść:

obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \vec{2m}}\)\(\displaystyle{ -}\)\(\displaystyle{ \vec{n}}\) , \(\displaystyle{ \vec{b}}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \vec{m}}\)\(\displaystyle{ +}\)\(\displaystyle{ \vec{n}}\) gdzie |\(\displaystyle{ \vec{m}}\)|\(\displaystyle{ =1}\) , |\(\displaystyle{ \vec{n}}\)|\(\displaystyle{ =2}\)
kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{m}}\),\(\displaystyle{ \vec{n}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{3}}\)

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ S=|\vec{a}x\vec{b}|=(2\vec{m}-\vec{n})x(\vec{m}+\vec{n})|=|2\vec{m}x\vec{n}-\vec{n}x\vec{m}|=3|\vec{m}x\vec{n}|=3|\vec{m}||\vec{n}|sin\frac{\Pi}{3}=3\sqrt{3}}\)

Mój problem polega na tym, ze nie wiem skąd wzięło się \(\displaystyle{ 3|\vec{m}x\vec{n}|}\)
Z góry dziękuje za odpowiedz.

[kropka+]

Wzięło się z antyprzemienności iloczynu wektorowego.

[graber]

mógłbym prosić o rozpisanie tego, dla mojego przypadku?
dziękuje i pozdrawiam

[kropka+]

Antyprzemienność iloczynu wektorowego polega na tym, że zmiana kolejności mnożenia powoduje zmianę znaku (bo kąt pomiędzy tymi wektorami zmienia znak to sinus kąta też) czyli:

\(\displaystyle{ \vec{n} \times \vec{m}= - \vec{m} \times\vec{n}}\)

[graber]

...\(\displaystyle{ =|2\vec{m}x\vec{n}-\vec{n}x\vec{m}|=|2\vec{m}x\vec{n}-\vec{m}x\vec{n}|=...?}\)
przecież to chyba nie będzie się równać \(\displaystyle{ =|3\vec{m}x\vec{n}|}\)

czy może trzeba zamienić to w ten sposób:

...\(\displaystyle{ =|2\vec{m}x\vec{n}-\vec{n}x\vec{m}|=|-\vec{n}x\vec{2m}-\vec{n}x\vec{m}|=...?}\)

proszę o podpowiedz : )

[kropka+]

\(\displaystyle{ |2\vec{m} \times \vec{n}-\vec{n} \times \vec{m}|=|2\vec{m} \times \vec{n}+\vec{m} \times \vec{n}|=\left| 3\vec{m} \times \vec{n}
\right|}\)