Witam,
Bardzo proszę o pomoc w zadaniu z Algebry Liniowej. Jestem na pierwszym roku studiów, mieliśmy pierwszy wykład o macierzach (rozwiązywanie równań za pomocą macierzy, mnożenie macierzy) i ćwiczeniowiec wrzucił nam do sieci zadania do zrobienia, które... przerastają mnie.
Treść zadania:
Znajdź macierz A o wyznaczniku 1 mającą wszystkie współrzędne różne od 0, oraz trzy punkty płaszczyzny \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\) tworzące trójkąt. Narysuj trójkąty \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ A\cdot x_{1} , A\cdot x_{2} , A\cdot x_{3}}\)
Powtórz rozumowanie dla macierzy o wyznaczniku 2. Wyciągnij wnioski.
Wyznacznik macierzy rozumiem, że ma być równy 1. Współrzędne niezerowe także. Ale jak macierz ma mieć trzy punkty płaszczyzny? Przecież tam są współrzędne wektorów? No i jak potem pomnożyć macierz przez punkt (fragment \(\displaystyle{ A\cdot x_{1}}\) ...)
Znajdź macierz o zadanych własnościach
-
Kapu
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 20 kwie 2009, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ...
- Podziękował: 1 raz
Znajdź macierz o zadanych własnościach
Ostatnio zmieniony 5 gru 2011, o 21:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Znajdź macierz o zadanych własnościach
Nie sprecyzowałeś o ilu wymiarową przestrzeń chodzi (ale jest dopisek, że chodzi o punkty płaszczyzny) więc:
Np. szukana macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
1&3\\
1&4\end{array}\right]\qoute \det A=1}\)
Weźmy punkty (w algebrze liniowej współrzędne punktów często zapisuje się nie "w poziomie" tylko jako kolumnę) a zatem np.
\(\displaystyle{ x_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]
x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]
x_3=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]}\)
Teraz możemy pomnożyć macierz przez punkt i dostaniemy
\(\displaystyle{ Ax_1=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&4\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Ax_2=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&4\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Ax_2=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&4\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right]}\)
Czyli w wyniku mnożenia dostaniesz trzy nowe punkty tworzące nowy trójkąt.
Teraz to samo zrób z macierzą, której wyznacznik będzie wynosił \(\displaystyle{ 2}\). Policz pola wszystkich trójkątów i coś zauważ.
Gdyby chodziło o punkty w przestrzeni to zmieniły by się jedynie wymiary macierzy na \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i wektorów na \(\displaystyle{ 1\times 3}\).
Np. szukana macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}
1&3\\
1&4\end{array}\right]\qoute \det A=1}\)
Weźmy punkty (w algebrze liniowej współrzędne punktów często zapisuje się nie "w poziomie" tylko jako kolumnę) a zatem np.
\(\displaystyle{ x_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]
x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]
x_3=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]}\)
Teraz możemy pomnożyć macierz przez punkt i dostaniemy
\(\displaystyle{ Ax_1=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&4\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Ax_2=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&4\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ Ax_2=\left[\begin{array}{cc}1&3\\1&4\end{array}\right]\cdot
\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right]}\)
Czyli w wyniku mnożenia dostaniesz trzy nowe punkty tworzące nowy trójkąt.
Teraz to samo zrób z macierzą, której wyznacznik będzie wynosił \(\displaystyle{ 2}\). Policz pola wszystkich trójkątów i coś zauważ.
Gdyby chodziło o punkty w przestrzeni to zmieniły by się jedynie wymiary macierzy na \(\displaystyle{ 3\times 3}\) i wektorów na \(\displaystyle{ 1\times 3}\).