Komutatory, znaleźć macierze A i B

[nikodem92]

Znajdź takie macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), że dla macierzy:

\(\displaystyle{ X =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 &\ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\
0 & \ldots & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}}\).

są spełnione zależności:

\(\displaystyle{ [A,X] = X, \ \ \ [A,B]=-B, \ \ \ [X,B]=A}\).

(\(\displaystyle{ [A,B]}\) - komutator, \(\displaystyle{ [A,B] = AB - BA}\))

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.