Macierz przekształcenia liniowego. Jądro, obraz i ich wymi

[cockroach]

Dana jest macierz
\(\displaystyle{ M_L\;=\;\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
przekształcenia liniowego L względem baz \(\displaystyle{ B_{R^3} = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))}\) i \(\displaystyle{ B_{R^2} = ((1,0),(0,1))}\). Wyznaczyć Ker L , Img L, dim Ker L, dim Img L.

Z góry dziękuję.

[kuch2r]

\(\displaystyle{ \varphi:R^3\to R^2}\)

\(\displaystyle{ (\left[\begin{array}{ccc} 2&1&0\\0&0&2\end{array}\right]\cdot ft[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right])^T=[2x+y,2z]}\)
Nasze przeksztalcenie \(\displaystyle{ \varphi}\) wyraza sie nastepujacym wzorem:
\(\displaystyle{ \varphi((x,y,z))=(2x+y,2z)}\)
Wyznaczamy:
\(\displaystyle{ Ker\varphi=\{v\in R^3, \varphi(v)=(0,0)\}\\
ft\{\begin{array}{l} 2x+y=0\\2z=0\end{array}}\)
Rozwiazaniem tego ukladu jest:
\(\displaystyle{ t(-\frac{1}{2},1,0)}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in R}\)
Zatem \(\displaystyle{ dim(Ker\varphi )=1}\)

\(\displaystyle{ Im\varphi=\{\varphi(v), v\in R^3\}}\)
Stad obrazem przeksztalcenia \(\displaystyle{ \varphi}\), bedzie:
\(\displaystyle{ Im\varphi=\{\varphi((x,y,z))=(2x+y,2z)\}}\)
\(\displaystyle{ dimIm\varphi=2}\)