Obraz i jądro przekształcenia liniowego

[prawyakapit]

Dane jest przekształcenie liniowe\(\displaystyle{ g: R^{4}-->R^{3}}\)

dane wzorem: \(\displaystyle{ g(a,b,c,d)=(a+c+d, b+c-d,-a+b,-2d)}\)

wyszło mi że kerg=((-1,-1,1,0),(-1,1,0,1)), czy to jest dobrze?

jednak nie wychodzi mi obraz...

[miki999]

Sprawdź. Nie wydaje mi się, aby to było dobrze.

[prawyakapit]

ale jak to sprawdzić.

[miki999]

A czym jest jądro przekształcenia?

[fon_nojman]

Dane jest przekształcenie liniowe\(\displaystyle{ g: R^{4}-->R^{3}}\)

dane wzorem: \(\displaystyle{ g(a,b,c,d)=(a+c+d, b+c-d,-a+b,-2d)}\)

Zacznijmy od tego, że \(\displaystyle{ g:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4.}\) Jeżeli wzór jest napisany poprawnie.

[prawyakapit]

kurcze źle przepisałam, powinno być:



\(\displaystyle{ g(a,b,c,d)=(a+c+d, b+c-d,-a+b-2d)}\)

[alfgordon]

w takim razie dobrze Ci wyszło

[prawyakapit]

a obraz ? Lub czy można policzyć rząd przekształcenia bez liczenia obrazu ?

[alfgordon]

a jaki obraz Tobie wyszedł?

[prawyakapit]

nie umiem go wyznaczyć

[alfgordon]

\(\displaystyle{ Im g =\left\{ (a+c+d, b+c-d,-a+b-2d),a,b,c,d \in \mathbb{R}\right\}=}\)
\(\displaystyle{ \left\{ a(1,0,-1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)+d(0,-1,-2),a,b,c,d \in \mathbb{R}\right\} =}\)

\(\displaystyle{ Lin \left\{ (1,0,-1),(0,1,1),(1,1,0),(0,-1,-2)\right\}}\)

[prawyakapit]

ale czy te wektory z obrazu które wyznaczyłeś są lnz ?

[alfgordon]

są liniowo zależne, jeżeli masz podać bazę obrazu to musisz 'usunąć' wektory liniowo zależne

[prawyakapit]

zatem baza obrazu to lin((0,1,1),(1,1,0),(0,-1,-2)) ?

[alfgordon]

baza obrazu to:
\(\displaystyle{ \left\{ (1,0,-1),(0,1,1)\right\}}\)

dwa ostatnie wektory u Ciebie są liniowo zależne (zauważ, że jak dodasz i odejmiesz dwa pierwsze wektory to otrzymasz dwa ostatnie)