Funkcjonały liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Funkcjonały liniowe

Post autor: adambak »

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\) dane są wielomiany:

\(\displaystyle{ p_1(t)=1+2t}\)
\(\displaystyle{ p_2(t)=t+3t^2}\)
\(\displaystyle{ p_3(t)=t^2+3t^3}\)
\(\displaystyle{ p_4(t)=1+25t^3}\)

oraz dany jest funkcjonał \(\displaystyle{ f\in \left( \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}\right)^*}\) (w przestrzeni sprzężonej), \(\displaystyle{ f(p)=p(-1)-p(0)+p(1)}\). Niech \(\displaystyle{ s_1,s_2,s_3,s_4\in \left( \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}\right)^*}\) spełniają warunki:

\(\displaystyle{ s_i(p_i)=1 \text{ dla } i=1,2,3,4 \text{ oraz } s_i(p_j)=0 \text{ dla } i\neq j}\)..

Zapisz \(\displaystyle{ f}\) jako kombinację liniową funkcjonałów \(\displaystyle{ s_1,s_2,s_3,s_4}\)..
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Funkcjonały liniowe

Post autor: norwimaj »

Wyznacznik macierzy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\\1&0&0&25\end{bmatrix}}\)

jest równy \(\displaystyle{ 7}\), więc wielomiany \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,p_4}\) stanowią bazę \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\). Zatem każdy \(\displaystyle{ p\in\mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ p=a_1p_1+a_2p_2+a_3p_3+a_4p_4}\).

Dla takiego \(\displaystyle{ p}\) mamy

\(\displaystyle{ f(p) = a_1f(p_1)+a_2f(p_2)+a_3f(p_3)+a_4f(p_4)=
a_1\cdot1+a_2\cdot6+a_3\cdot2+a_4\cdot1,}\)


\(\displaystyle{ s_1(p) = a_1s_1(p_1)+a_2s_1(p_2)+a_3s_1(p_3)+a_4s_1(p_4)=a_1,}\)

\(\displaystyle{ s_2(p) = a_2,\quad s_3(p) = a_3,\quad s_4(p) = a_4}\).

Zatem \(\displaystyle{ f(p)=s_1(p)\cdot1+s_2(p)\cdot6+s_3(p)\cdot2+s_4(p)\cdot1}\), co wobec dowolności \(\displaystyle{ p}\) daje

\(\displaystyle{ f=s_1\cdot1+s_2\cdot6+s_3\cdot2+s_4\cdot1}\).
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Funkcjonały liniowe

Post autor: adambak »

wielkie dzięki
chodziło za mną to zadanie już długo.. teraz wydaje się całkiem proste, jednak trzeba było wiedzieć co się tutaj właściwie dzieje.. teraz już wiem bo to sobie poukładałem w głowie..
ODPOWIEDZ