W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\) dane są wielomiany:
\(\displaystyle{ p_1(t)=1+2t}\)
\(\displaystyle{ p_2(t)=t+3t^2}\)
\(\displaystyle{ p_3(t)=t^2+3t^3}\)
\(\displaystyle{ p_4(t)=1+25t^3}\)
oraz dany jest funkcjonał \(\displaystyle{ f\in \left( \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}\right)^*}\) (w przestrzeni sprzężonej), \(\displaystyle{ f(p)=p(-1)-p(0)+p(1)}\). Niech \(\displaystyle{ s_1,s_2,s_3,s_4\in \left( \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}\right)^*}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ s_i(p_i)=1 \text{ dla } i=1,2,3,4 \text{ oraz } s_i(p_j)=0 \text{ dla } i\neq j}\)..
Zapisz \(\displaystyle{ f}\) jako kombinację liniową funkcjonałów \(\displaystyle{ s_1,s_2,s_3,s_4}\)..
Funkcjonały liniowe
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Funkcjonały liniowe
Wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\\1&0&0&25\end{bmatrix}}\)
jest równy \(\displaystyle{ 7}\), więc wielomiany \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,p_4}\) stanowią bazę \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\). Zatem każdy \(\displaystyle{ p\in\mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ p=a_1p_1+a_2p_2+a_3p_3+a_4p_4}\).
Dla takiego \(\displaystyle{ p}\) mamy
\(\displaystyle{ f(p) = a_1f(p_1)+a_2f(p_2)+a_3f(p_3)+a_4f(p_4)=
a_1\cdot1+a_2\cdot6+a_3\cdot2+a_4\cdot1,}\)
\(\displaystyle{ s_1(p) = a_1s_1(p_1)+a_2s_1(p_2)+a_3s_1(p_3)+a_4s_1(p_4)=a_1,}\)
\(\displaystyle{ s_2(p) = a_2,\quad s_3(p) = a_3,\quad s_4(p) = a_4}\).
Zatem \(\displaystyle{ f(p)=s_1(p)\cdot1+s_2(p)\cdot6+s_3(p)\cdot2+s_4(p)\cdot1}\), co wobec dowolności \(\displaystyle{ p}\) daje
\(\displaystyle{ f=s_1\cdot1+s_2\cdot6+s_3\cdot2+s_4\cdot1}\).
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\\1&0&0&25\end{bmatrix}}\)
jest równy \(\displaystyle{ 7}\), więc wielomiany \(\displaystyle{ p_1,p_2,p_3,p_4}\) stanowią bazę \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\). Zatem każdy \(\displaystyle{ p\in\mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ p=a_1p_1+a_2p_2+a_3p_3+a_4p_4}\).
Dla takiego \(\displaystyle{ p}\) mamy
\(\displaystyle{ f(p) = a_1f(p_1)+a_2f(p_2)+a_3f(p_3)+a_4f(p_4)=
a_1\cdot1+a_2\cdot6+a_3\cdot2+a_4\cdot1,}\)
\(\displaystyle{ s_1(p) = a_1s_1(p_1)+a_2s_1(p_2)+a_3s_1(p_3)+a_4s_1(p_4)=a_1,}\)
\(\displaystyle{ s_2(p) = a_2,\quad s_3(p) = a_3,\quad s_4(p) = a_4}\).
Zatem \(\displaystyle{ f(p)=s_1(p)\cdot1+s_2(p)\cdot6+s_3(p)\cdot2+s_4(p)\cdot1}\), co wobec dowolności \(\displaystyle{ p}\) daje
\(\displaystyle{ f=s_1\cdot1+s_2\cdot6+s_3\cdot2+s_4\cdot1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Funkcjonały liniowe
wielkie dzięki
chodziło za mną to zadanie już długo.. teraz wydaje się całkiem proste, jednak trzeba było wiedzieć co się tutaj właściwie dzieje.. teraz już wiem bo to sobie poukładałem w głowie..
chodziło za mną to zadanie już długo.. teraz wydaje się całkiem proste, jednak trzeba było wiedzieć co się tutaj właściwie dzieje.. teraz już wiem bo to sobie poukładałem w głowie..