równość podprzestrzeni

[pilkarz_amator]

Czy jeżeli \(\displaystyle{ U}\) oraz \(\displaystyle{ W}\) są podprzestrzeniami \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ \dim U=\dim W}\) oraz \(\displaystyle{ U\subset W}\) to \(\displaystyle{ U=W}\)?

[norwimaj]

Nie. Trzeba dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ W}\) jest skończonego wymiaru, żeby to była prawda.

[pilkarz_amator]

Zapomniałem dopisać tego założenia. A na jakiej podstawie to wiadomo?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n}\) będzie jakąś bazą \(\displaystyle{ U}\), czyli \(\displaystyle{ \dim U=n}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ U\ne W}\). Wtedy istnieje wektor \(\displaystyle{ \beta\in W\setminus U}\). Widać, że \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n,\beta}\) jest zbiorem liniowo niezależnym w \(\displaystyle{ W}\), więc \(\displaystyle{ \dim W \ge n+1}\). Zatem \(\displaystyle{ \dim U\ne \dim W}\).

[pilkarz_amator]

Dziękuję bardzo.