Potęgi macierzy

[BlackSlash]

Obliczyć kilka początkowych potęg macierzy \(\displaystyle{ A}\), następnie wysunąć hipotezę o postaci macierzy \(\displaystyle{ A^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i uzasadnić ją za pomocą indukcji matematycznej:

\(\displaystyle{ a)\begin{bmatrix}
i & 1\\
0 & -i
\end{bmatrix}}\)

Z potęgowaniem macierzy nie ma problemy, ale nie rozumiem o co chodzi w dalszej części zadania.

[miodzio1988]

ogolny wzor musisz wyznaczyc. Czyli tak jakbys wymnozyl te macierze \(\displaystyle{ n}\) razy

[BlackSlash]

no to mam:

\(\displaystyle{ A=
\begin{bmatrix}
i & 1\\
0 & -i
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A^{2}=
\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A^{3}=
\begin{bmatrix}
-i & -1\\
0 & i
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A^{4}=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A^{5}=
\begin{bmatrix}
i & 1\\
0 & -i
\end{bmatrix}}\)

Widać, że będzie się co czwarta macierz powtarzała, ale nie mam pojęcia jak uzyskać z tego wzór ogólny.

[miodzio1988]

pierwszy wyraz mozesz zapisac np jako \(\displaystyle{ i ^{n}}\) . reszta podobnie. Pomysl