Znajdz bazę sumy i bazę przecięcia przestrzeni liniowych:
\(\displaystyle{ U=\{(x,y,z,t) \in \RR^{4}: x -2y+z=0, x -4y+2z+t=0\}}\)
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z,t) \in \RR^{4}: 2x+y-2z-t=0, y-2z+t=0\}}\)
znaleźć bazę
-
- Użytkownik
- Posty: 184
- Rejestracja: 13 paź 2011, o 20:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 71 razy
znaleźć bazę
Ostatnio zmieniony 15 lis 2021, o 14:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
znaleźć bazę
Zauważmy,że bazą sumy przestrzeni liniowych jest baza złożona z wektorów złożonych do każdej z tych baz po usunięciu zależnych
,a przecięcia to baza po połączenia tych warunków
czyli policzmy bazy
\(\displaystyle{ U=\{(x,y,z,t) \in \RR^{4}:x-2y+z=0;x-4y+2z+t\}}\)
przenieśmy w obu równaniach zmienne z y i t na drugą stronę
mamy układ\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y=-z \\ x-4y=-2z-t \end{cases}}\)
Odejmijmy stronami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y=-z \\ 2y=z+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-z+t=-z \\ y= \frac{z+t}{2} \end{cases}}\)
Czyli ostatecznie mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t \\ y=\frac{z+t}{2} \end{cases}}\) zi t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.Czyli do opisu U potrzeba wektorów \(\displaystyle{ [-1, \frac{1}{2}, 0,1];[0 \frac{1}{2};0,1]}\)para wektorów niezależnych i z dowolności z i t rozpinająca przestrzeń
Analogicznie analizujemy U i \(\displaystyle{ U \cap V}\)
,a przecięcia to baza po połączenia tych warunków
czyli policzmy bazy
\(\displaystyle{ U=\{(x,y,z,t) \in \RR^{4}:x-2y+z=0;x-4y+2z+t\}}\)
przenieśmy w obu równaniach zmienne z y i t na drugą stronę
mamy układ\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y=-z \\ x-4y=-2z-t \end{cases}}\)
Odejmijmy stronami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y=-z \\ 2y=z+t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-z+t=-z \\ y= \frac{z+t}{2} \end{cases}}\)
Czyli ostatecznie mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} x=-t \\ y=\frac{z+t}{2} \end{cases}}\) zi t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.Czyli do opisu U potrzeba wektorów \(\displaystyle{ [-1, \frac{1}{2}, 0,1];[0 \frac{1}{2};0,1]}\)para wektorów niezależnych i z dowolności z i t rozpinająca przestrzeń
Analogicznie analizujemy U i \(\displaystyle{ U \cap V}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 184
- Rejestracja: 13 paź 2011, o 20:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 71 razy
znaleźć bazę
Dziękuję, ale jeszcze nie do końca rozumiem, jeśli w V wychodzi para wektorów
\(\displaystyle{ (0,2,1,0), (0,1,0,1)}\) to co jest bazą sumy i przecięcia?
\(\displaystyle{ (0,2,1,0), (0,1,0,1)}\) to co jest bazą sumy i przecięcia?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
znaleźć bazę
Zauważ,że wszystkie cztery wektory są niezależne,czyli wszystkie 4 wsadzasz do bazy sumy
jeśli chodzi o przecięcia. Wszystkie 4 równania ( i te z U i te z V) w układ i go rozwiązujesz...
jeśli chodzi o przecięcia. Wszystkie 4 równania ( i te z U i te z V) w układ i go rozwiązujesz...